Seja f: R R.
Assumindo que lim x 0 f(x)x=0, calcule lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e sabe que . O que a gente precisa descobrir é o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, conforme se aproxima de 0, a razão entre e fica cada vez menor, chegando a zero. Em outras palavras, está crescendo mais devagar que conforme se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com o que queremos encontrar: limx 0 f(x)x = 0 . Para isso, vamos reorganizar a expressão que temos. Sabemos que:
f(x) = x cdot f(x)x
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o limite nos dois lados dessa igualdade:
limx 0 f(x) = limx 0 ( x cdot f(x)x )
Pela propriedade dos limites, podemos separar em:
limx 0 f(x) = ( limx 0 x ) cdot ( limx 0 f(x)x )

Passo 5

Sabemos que limx 0 f(x) = 0 cdot 0 = 0 e que . Então, substituindo esses valores na equação:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados