Usando o método de integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas.
(e) integral x^n ln x d x

Passo 1

Estamos diante da integral integral x^n ln x ,dx. O conteúdo é integração por partes, e vamos precisar usar a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para integração por partes: u = ln x e dv = x^n,dx. Então calculamos suas diferenciais: du = 1x,dx e a primitiva de dv é v = x^n+1n+1, pois integral x^n,dx = x^n+1/(n+1).

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 4

Dentro da integral restante, simplificamos x^n+1/x = x^n, de modo que

Passo 5

Agora basta calcular integral x^n ,dx = x^n+1/(n+1). Substituindo, obtemos

Passo 6

Por fim, podemos colocar em forma mais compacta:

Resposta

integral x^nln x,dx = x^n+1(n+1)^2l[(n+1)ln x - 1r] + C.

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