Determine a função
que satisfaz as condições:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma função $ f(x) $ que satisfaça a segunda derivada $ f’’(x) = x^{2} + e^{x} $, com as condições iniciais $ f’(0) = 1 $ e $ f(0) = 2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar $ f’(x) $ e depois $ f(x) $.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar $ f’(x) $. Sabemos que $ f’’(x) = x^{2} + e^{x} $. Para obter $ f’(x) $, vamos integrar $ f’’(x) $ em relação a $ x $:
Isso dá:
Aqui, $ C_{1} $ é uma constante de integração que vamos determinar no próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial $ f’(0) = 1 $ para encontrar $ C_{1} $. Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f’(x) $:
Então, a expressão para $ f’(x) $ fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ f(x) $ integrando $ f’(x) $:
Integrando termo a termo:
Aqui, $ C_{2} $ é outra constante de integração que vamos determinar usando a segunda condição inicial.
Passo 5
Para encontrar $ C_{2} $, usamos a condição $ f(0) = 2 $. Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f(x) $:
Então, a expressão final para $ f(x) $ é:
Resposta
A função que satisfaz as condições dadas é $ f(x) = \dfrac{x^{4}}{12} + e^{x} + 1 $.