Determine a função f(x) que satisfaz as condições: f^prime prime(x)=x^2+e^x, f^prime(0)=1, f(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma função $ f(x) $ que satisfaça a segunda derivada $ f’’(x) = x^{2} + e^{x} $, com as condições iniciais $ f’(0) = 1 $ e $ f(0) = 2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar $ f’(x) $ e depois $ f(x) $.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar $ f’(x) $. Sabemos que $ f’’(x) = x^{2} + e^{x} $. Para obter $ f’(x) $, vamos integrar $ f’’(x) $ em relação a $ x $:
f'(x)
Isso dá:
f''(x) = x^2 + e^x
Aqui, $ C_{1} $ é uma constante de integração que vamos determinar no próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial $ f’(0) = 1 $ para encontrar $ C_{1} $. Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f’(x) $:
f'(0) = 1
Então, a expressão para $ f’(x) $ fica:
C1

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ f(x) $ integrando $ f’(x) $:
f(x)
Integrando termo a termo:
f'(x)
Aqui, $ C_{2} $ é outra constante de integração que vamos determinar usando a segunda condição inicial.

Passo 5

Para encontrar $ C_{2} $, usamos a condição $ f(0) = 2 $. Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ f(x) $:
C2
Então, a expressão final para $ f(x) $ é:
f(0) = 2

Resposta

A função que satisfaz as condições dadas é $ f(x) = \dfrac{x^{4}}{12} + e^{x} + 1 $.

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