Em cada caso, identifique o sólido Omega e calcule seu volume por integração tripla.
Omega é a interseção dos paraboloides z <= 1-x^2-y^2 e z >= x^2+y^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a região sólida Omega que é a interseção de dois paraboloides: z <= 1 - x^2 - y^2 e z >= x^2 + y^2 - 1. Nosso objetivo é calcular o volume dessa região usando integração tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais triplas e coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em casos de simetria circular como este.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies:
  1. Paraboloide para baixo: z <= 1 - x^2 - y^2. Esse paraboloide abre para baixo e tem o vértice no ponto (0,0,1).
  2. Paraboloide para cima: z >= x^2 + y^2 - 1. Esse paraboloide abre para cima e tem o vértice no ponto (0,0,-1).
A região Omega é onde essas duas condições se sobrepõem, ou seja, onde x^2 + y^2 - 1 <= z <= 1 - x^2 - y^2.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • O volume elementar é dV = r , dz , dr , dtheta
Isso é útil porque a região tem simetria circular.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi (completando o círculo).
  • r varia desde 0 até o ponto onde os dois paraboloides se encontram. Para encontrar esse ponto, igualamos as duas equações dos paraboloides:
    1 - r^2 = r^2 - 1 2r^2 = 2 r^2 = 1 r = 1
    Então, r varia de 0 a 1.
  • z varia de r^2 - 1 até 1 - r^2.

Passo 5

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume V:
V = integral0^2pi integral0^1 integralr^2 - 1^1 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em z:
integralr^2 - 1^1 - r^2 dz = (1 - r^2) - (r^2 - 1) = 2(1 - r^2)

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
V = integral0^2pi integral0^1 2(1 - r^2) cdot r , dr , dtheta V = 2 integral0^2pi integral0^1 (r - r^3) , dr , dtheta
Primeiro, integramos em r:
integral0^1 (r - r^3) , dr = [ r^22 - r^44 ]0^1 = ( 12 - 14 ) = 14

Passo 7

Agora, integramos em theta:
V = 2 cdot 14 cdot integral0^2pi dtheta = 12 cdot 2pi = pi

Resposta

O volume da região Omega é pi unidades de volume.

Exercícios relacionados