Em cada caso, identifique o sólido
e calcule seu volume por integração tripla.
é a interseção dos paraboloides
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a região sólida
que é a interseção de dois paraboloides:
e
. Nosso objetivo é calcular o volume dessa região usando integração tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais triplas e coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em casos de simetria circular como este.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies:
- Paraboloide para baixo:
. Esse paraboloide abre para baixo e tem o vértice no ponto . - Paraboloide para cima:
. Esse paraboloide abre para cima e tem o vértice no ponto .
A região
é onde essas duas condições se sobrepõem, ou seja, onde
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
-
-
-
- O volume elementar é
Isso é útil porque a região tem simetria circular.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (completando o círculo). -
varia desde até o ponto onde os dois paraboloides se encontram. Para encontrar esse ponto, igualamos as duas equações dos paraboloides: Então,varia de a . -
varia de até .
Passo 5
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Primeiro, integramos em
:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Primeiro, integramos em
:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Resposta
O volume da região
é
unidades de volume.