Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
e o eixo
Passo 1
Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar a região que está limitada pelas curvas $ y = \cos(x) $, pelas retas verticais $ x = \frac{\pi}{2} $ e $ x = \frac{3\pi}{2} $, e pelo eixo $ x $. Depois disso, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função $ y = \cos(x) $. A função cosseno é uma função trigonométrica que oscila entre 1 e -1, formando uma curva ondulada. Ela é periódica, com período $ 2\pi $, o que significa que se repete a cada $ 2\pi $ unidades.
Passo 3
Agora, vamos plotar as retas verticais $ x = \frac{\pi}{2} $ e $ x = \frac{3\pi}{2} $ no gráfico da função cosseno. Essas retas vão cortar a curva do cosseno nesses pontos específicos:
- Em $ x = \frac{\pi}{2} $, $ y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $
- Em $ x = \frac{3\pi}{2} $, $ y = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $
Esses pontos serão os limites onde vamos calcular a área.
Passo 4
A região delimitada é a área entre $ x = \frac{\pi}{2} $ e $ x = \frac{3\pi}{2} $, abaixo da curva $ y = \cos(x) $ e acima do eixo $ x $. Para encontrar essa área, usamos a integral definida da função $ \cos(x) $ nesse intervalo.
Passo 5
A fórmula para calcular a área $ A $ sob a curva $ y = \cos(x) $ de $ x = a $ até $ x = b $ é:
No nosso caso, $ a = \frac{\pi}{2} $ e $ b = \frac{3\pi}{2} $, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ \cos(x) $ em relação a $ x $ é $ \sin(x) $. Então:
Isso significa que precisamos avaliar $ \sin(x) $ em $ x = \frac{3\pi}{2} $ e subtrair o valor de $ \sin(x) $ em $ x = \frac{\pi}{2} $:
Passo 7
Calculando os valores:
- $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
- $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $
Substituindo na expressão:
Passo 8
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas dadas é $ 2 $ unidades de área.