Expresse a integral tripla
como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que
e a região
é descrita por:
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que trabalhar com uma integral tripla, que é uma forma de calcular volumes e outras grandezas em 3D. O exercício pede para transformar essa integral tripla em uma integral iterada e depois calcular seu valor quando a função é $ f(x, y, z) = xyz $ na região $ D $ definida por:
Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a integral tripla em uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez, respeitando os limites dados. A integral tripla fica assim:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a $ z $, depois $ y $ e por fim $ x $.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função $ f(x, y, z) $ por $ xyz $ na integral iterada:
Isso vai nos permitir calcular o valor da integral passo a passo.
Passo 4
Vamos resolver a integral começando por $ z $:
- Integral em $ z $:
- Integral em $ y $:
- Integral em $ x $:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{9}{8} $.