Expresse a integral tripla
integral triplaD f(x, y, z) d V
como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que f(x, y, z)=x y z e a região D é descrita por:
D:-1 <= x <= 2,0 <= y <= 1,1 <= z <= 2.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que trabalhar com uma integral tripla, que é uma forma de calcular volumes e outras grandezas em 3D. O exercício pede para transformar essa integral tripla em uma integral iterada e depois calcular seu valor quando a função é $ f(x, y, z) = xyz $ na região $ D $ definida por:
f(x, y, z) = xyz
Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a integral tripla em uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez, respeitando os limites dados. A integral tripla fica assim:
integral triplaD f(x, y, z) , dV = integralx=-1^2 integraly=0^1 integralz=1^2 f(x, y, z) , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a $ z $, depois $ y $ e por fim $ x $.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função $ f(x, y, z) $ por $ xyz $ na integral iterada:
f(x, y, z)
Isso vai nos permitir calcular o valor da integral passo a passo.

Passo 4

Vamos resolver a integral começando por $ z $:
  1. Integral em $ z $:
z
  1. Integral em $ y $:
z
  1. Integral em $ x $:
integral1^2 x y z , dz = x y [ z^22 ]1^2 = x y ( 42 - 12 ) = x y ( 2 - 0.5 ) = 32 x y

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{9}{8} $.

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