Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
x=1-y^2 e x=5-5 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que quer que a gente desenhe a região formada pelas duas curvas $ x = 1 - y^{2} $ e $ x = 5 - 5y^{2} $, e depois calcule a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas, igualdade de funções para encontrar pontos de interseção, e cálculo integral para achar a área entre as curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se cruzam. Ou seja, queremos saber para quais valores de $ y $ as duas expressões de $ x $ são iguais. Então, igualamos as duas equações:
y
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ y $.

Passo 3

Vamos resolver a equação passo a passo:
1 - y^2 = 5 - 5y^2
Subtraímos 1 de ambos os lados:
- y^2 = 4 - 5y^2
Agora, adicionamos $ 5y^{2} $ a ambos os lados para isolar os termos com $ y $:
5y^2
Dividimos ambos os lados por 4:
y
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos:
4y^2 = 4
Então, as curvas se cruzam quando $ y = 1 $ e $ y = -1 $.

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos identificar qual curva está à direita ou à esquerda na região de interesse. Como as equações estão em termos de $ x $ como função de $ y $, vamos ver qual valor de $ x $ é maior para cada $ y $.
Para $ y $ entre -1 e 1:
  • A curva $ x = 1 - y^{2} $: quanto maior o $ y $, menor o $ x $.
  • A curva $ x = 5 - 5y^{2} $: quanto maior o $ y $, muito menor o $ x $.
Observando os coeficientes, percebemos que $ x = 1 - y^{2} $ está à direita de $ x = 5 - 5y^{2} $ nessa faixa de $ y $.

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre as funções da direita e da esquerda, em relação a $ y $, de $ y = -1 $ a $ y = 1 $.
A fórmula para a área $ A $ é:
y
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
y = -1
Então, a integral fica:
y = 1
Agora, vamos calcular essa integral:
A
Avaliamo-nos nas extremidades:
Para $ y = 1 $:
A = integral-1^1 [ (1 - y^2) - (5 - 5y^2) ] dy
Para $ y = -1 $:
(1 - y^2) - (5 - 5y^2) = 1 - y^2 - 5 + 5y^2 = -4 + 4y^2
Agora, subtraímos os valores:
A = integral-1^1 (-4 + 4y^2) dy
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
A = [ -4y + 43y^3 ]-1^1

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas $ x = 1 - y^{2} $ e $ x = 5 - 5y^{2} $ é $ \frac{16}{3} $ unidades quadradas.

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