Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que quer que a gente desenhe a região formada pelas duas curvas $ x = 1 - y^{2} $ e $ x = 5 - 5y^{2} $, e depois calcule a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas, igualdade de funções para encontrar pontos de interseção, e cálculo integral para achar a área entre as curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se cruzam. Ou seja, queremos saber para quais valores de $ y $ as duas expressões de $ x $ são iguais. Então, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ y $.
Passo 3
Vamos resolver a equação passo a passo:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, adicionamos $ 5y^{2} $ a ambos os lados para isolar os termos com $ y $:
Dividimos ambos os lados por 4:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos:
Então, as curvas se cruzam quando $ y = 1 $ e $ y = -1 $.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos identificar qual curva está à direita ou à esquerda na região de interesse. Como as equações estão em termos de $ x $ como função de $ y $, vamos ver qual valor de $ x $ é maior para cada $ y $.
Para $ y $ entre -1 e 1:
- A curva $ x = 1 - y^{2} $: quanto maior o $ y $, menor o $ x $.
- A curva $ x = 5 - 5y^{2} $: quanto maior o $ y $, muito menor o $ x $.
Observando os coeficientes, percebemos que $ x = 1 - y^{2} $ está à direita de $ x = 5 - 5y^{2} $ nessa faixa de $ y $.
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre as funções da direita e da esquerda, em relação a $ y $, de $ y = -1 $ a $ y = 1 $.
A fórmula para a área $ A $ é:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular essa integral:
Avaliamo-nos nas extremidades:
Para $ y = 1 $:
Para $ y = -1 $:
Agora, subtraímos os valores:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas $ x = 1 - y^{2} $ e $ x = 5 - 5y^{2} $ é $ \frac{16}{3} $ unidades quadradas.