Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas cilíndricas! A gente tem que calcular uma integral tripla que envolve $ x $, $ y $ e $ z $. Para isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa $ r $ (a distância do ponto até o eixo $ z $), $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo $ x $) e $ z $ mesmo. As relações são:
E o elemento de volume muda para:
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. Temos:
- $ x $ vai de 0 a 2.
- $ y $ vai de $ -\sqrt{2x - x^2} $ a $ \sqrt{2x - x^2} $.
- $ z $ vai de 0 a $ x^2 + y^2 $.
Vamos traduzir isso para coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Como $ x $ varia de 0 a 2, no sistema cilíndrico isso significa que $ r \cos \theta $ vai de 0 a 2. Também, $ y $ varia simetricamente em relação a $ x $, indicando que $ \theta $ vai de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ para cobrir todo o intervalo de $ y $.
Passo 5
A expressão $ 2x - x^2 $ em termos de $ r $ e $ \theta $ fica:
Para simplificar, vamos encontrar o raio máximo $ r $ que satisfaz essa equação. Resolvendo para $ r $:
Isso nos dá $ r = 0 $ ou $ r = \frac{2}{\cos \theta} $.
Passo 6
Agora, o limite superior de $ r $ é $ \frac{2}{\cos \theta} $. Então, $ r $ varia de 0 a $ \frac{2}{\cos \theta} $. E como $ z $ vai de 0 a $ x^2 + y^2 $, em coordenadas cilíndricas isso fica:
Passo 7
Agora podemos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, $ x^2 + y^2 = r^2 $ e multiplicamos por $ r $ do elemento de volume.
Passo 8
Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, a integral em $ z $:
Passo 9
Agora, integramos em $ r $:
Passo 10
Por fim, integramos em $ \theta $:
Sabemos que a integral de $ \frac{1}{\cos^6 \theta} $ é uma função par, então podemos simplificar para:
Usando integrais conhecidas, temos:
Por limites de 0 a $ \frac{\pi}{2} $, a integral diverge para infinito, o que indica que a integral original não converge.
Resposta
A integral diverge para infinito; não possui um valor finito.