Em cada caso, identifique o sólido Omega e calcule seu volume por integração tripla.
Omega é a interseção da bola x^2+y^2+z^2 <= 6 com o paraboloide z >= x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido Ω definido pela interseção da bola x^2+y^2+z^2<=6 com o paraboloide z>= x^2+y^2. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, fazemos x=r,costheta, y=r,sintheta e z=z. A bola vira r^2+z^2<=6 e o paraboloide z>= r^2. Assim,
r^2+z^2<=6, z>= r^2,
para r>=0 e 0<=theta<=2pi. O volume é
V= integraltheta=0^2piintegralr=0^raiz2integralz=r^2^raiz6-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em z:
integralz=r^2^raiz6-r^2r,dz =rl(raiz6-r^2-r^2r)
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V=2piintegral0^raiz2rl(raiz6-r^2-r^2r)dr =2pil(integral0^raiz2rraiz6-r^2,dr-integral0^raiz2r^3,drr)

Passo 4

Para I1=integral0^raiz2rraiz6-r^2,dr, façamos u=6-r^2, du=-2r,dr:
I1=12integralu=6^4u^1/2(-du)=12integral4^6u^1/2du=13l(6^3/2-4^3/2r)=13(6raiz6-8)
E I2=integral0^raiz2r^3,dr=tfrac14r^4|0^raiz2=1 Assim,
V=2pil(13(6raiz6-8)-1r) =2pi3(6raiz6-11)

Resposta

V=2pi3l(6raiz6-11r).

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