Encontrar os pivôs e as colunas pivôs das matrizes abaixo:
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os pivôs (leading entries) e as colunas-pivô de uma matriz 5×6 usando escalonamento (el eliminação de Gauss). O conteúdo é forma escalonada de uma matriz e pivôs são os primeiros elementos não-nulos de cada linha não-nula depois do escalonamento. Vamos usar operações elementares de linha para levar a matriz à forma escalonada.
Passo 2
O primeiro pivô aparece na segunda linha, pois a primeira é nula. Olhando a linha 2: $ [0;0;2;1;-1;8] $, o primeiro não-nulo é [0;0;2;1;-1;8] na coluna 3. Então o primeiro pivô é 2 em 2, e a coluna 3 é uma coluna-pivô.
Agora eliminamos tudo abaixo desse pivô na coluna 3. Usamos as operações:
• Na linha 3: a23
• Na linha 4: L3 L3 + tfrac32L2
• Na linha 5: L4 L4 - 3L2
Isso zera as entradas das linhas 3, 4 e 5 na coluna 3. A submatriz resultante das três últimas colunas (4 a 6) vira:
L5 L5 + L2
Passo 3
O segundo pivô é o primeiro não-nulo na terceira linha escalonada: em L3' o primeiro não-nulo está na coluna 4 e vale 0.5. Então o segundo pivô é 0.5 em a34', e a coluna 4 é outra coluna-pivô.
Eliminamos então o que está abaixo desse pivô na coluna 4 usando:
• Na linha 4: L4 L4 + 2L3' (pois -1 + 2times0.5 = 0)
• Na linha 5: L5 L5 - 4L3' (pois 2 - 4times0.5 = 0)
Isso deixa a linha 4 totalmente nula e transforma a linha 5 em [0;0;0;0;-1;1].
Passo 4
Pulamos a linha 4 (nula) e vamos pra linha 5. O terceiro pivô é o primeiro não-nulo em L5'' = [0;0;0;0;-1;1], que está na coluna 5 e vale -1. Logo o terceiro pivô é -1 em a55'', e a coluna 5 é pivô.
Resposta
Pivôs: 2 (em a_{23}), 0.5 (em a_{34}) e –1 (em a_{55}). Colunas-pivô: 3, 4 e 5.