Consideremos o operador linear T: R^3 R^3, definido por T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, 2 x+2 y-z,-x+y+4 z), verificar se é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear T: R^3to R^3, definido por T(x,y,z)=(x+2y+2z,;2x+2y-z,;-x+y+4z), é sobrejetor. O conteúdo é Álgebra Linear: para mapas lineares entre espaços de mesma dimensão, a surjeção ocorre exatamente quando a matriz associada tem posto máximo (i.e. determinante não nulo).

Passo 2

Vamos montar a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Os coeficientes das imagens de (x,y,z) dão
A=1 & 2 & 2 2 & 2 & -1 -1 & 1 & 4

Passo 3

Agora calculamos o determinante de A:
det(A)=1cdot(2cdot4-(-1)cdot1)-2cdot(2cdot4-(-1)cdot(-1))+2cdot(2cdot1-2cdot(-1))=9-14+8=3

Passo 4

Como det(A)=3neq0, a matriz é invertível, logo o operador T tem posto 3 e é bijetor, em particular sobrejetor.

Resposta

T é sobrejetora, pois a matriz associada tem determinante 3neq0.

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