Verificar se a transformação T: R^2 R^3, T(x, y)=(x-y, 2 x+y, 0) é injetora.

Passo 1

Estamos com a transformação linear T: R^2to R^3 dada por T(x,y)=(x-y,,2x+y,,0). O conteúdo aqui é injetividade de uma aplicação linear e vamos precisar calcular o núcleo de T e verificar se ele é apenas o vetor zero.

Passo 2

Uma transformação linear é injetora se e somente se ker T=(0,0). Em outras palavras, precisamos resolver T(x,y)=(0,0,0) e mostrar que a única solução é (x,y)=(0,0).

Passo 3

Para encontrar o núcleo, montamos o sistema
x - y = 0 2x + y = 0 0 = 0
Da primeira equação vem x=y. Substituindo na segunda: 2x + x = 0, ou seja 3x = 0 e portanto x = 0. Logo y = 0.

Passo 4

Como a única solução de T(x,y)=(0,0,0) é (x,y)=(0,0), concluímos que ker T=(0,0). Portanto T é injetora.

Resposta

Sim. A transformação é injetora porque seu núcleo é apenas o vetor zero.

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