Em cada caso identifique o sólido Omega e calcule seu volume por integração tripla.
Omega é delimitado pelo cilindro y=x^2 e pelos planos y+z=4 e z=0;

Passo 1

O enunciado nos dá o sólido Omega delimitado pelo cilindro parabólico y = x^2 e pelos planos z=0 e y+z=4.
Conteúdo: cálculo de volume por integração tripla. Precisamos projetar Omega no plano xy, encontrar os limites de x e y e depois integrar em z.

Passo 2

Para cada ponto da projeção no plano xy, a coordenada z varia de
z=0
até
y+z=4;Longrightarrow;z=4-y
O cilindro y=x^2 dá o limite inferior em y, e da condição z>=0 junto com z=4-y vem y<=4. Assim a projeção é
R=(x,y)mid x^2<= y<=4
Dessa desigualdade segue x^2<=4, ou seja -2<= x<=2.

Passo 3

Montamos a integral de volume e integramos em z:
V=integral triplaOmega1,dV =integralx=-2^2integraly=x^2^4integralz=0^4-ydz,dy,dx
Como
integralz=0^4-ydz=4-y,
fica
V=integralx=-2^2integraly=x^2^4(4-y),dy,dx

Passo 4

Integramos em y:
integraly=x^2^4(4-y),dy =l[4y-tfracy^22r]y=x^2^4 =8-4x^2+tfracx^42
Portanto
V=integralx=-2^2l(8-4x^2+tfracx^42r),dx
Como o integrando é função par, usamos
V=2integral0^2l(8-4x^2+tfracx^42r),dx

Passo 5

Calculamos a integral em x:
integral0^2l(8-4x^2+tfracx^42r)dx =l[8x-tfrac4x^33+tfracx^510r]0^2 =16-tfrac323+tfrac165 =tfrac12815
Multiplicando por 2 obtém-se
V=tfrac25615

Resposta

V=25615

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