Descreva o sólido Omega do R^3, cujo volume é:
integral1^2 integral-raizz^raizz integral-raizz-x^2^raizz-x^2 d y d x d z

Passo 1

O enunciado nos dá o volume de um sólido OmegasubsetR^3 por meio da integral iterada
integralz=1^2integralx=-raizz^raizzintegraly=-raiz,z-x^2,^raiz,z-x^2,dy,dx,dz
Para descrevê-lo, vamos interpretar cada limite como uma desigualdade em x,y,z.

Passo 2

O limite em y diz
-raiz,z-x^2,<= y<=raiz,z-x^2, Longrightarrow y^2<= z-x^2 Longrightarrow x^2+y^2<= z
Em seguida, o limite em x já exige x^2<= z, mas isso já está contido em x^2+y^2<= z. Finalmente, o limite em z é
1<= z<= 2

Passo 3

Juntando tudo,
Omega=l(x,y,z)inR^3mid 1<= z<= 2,;x^2+y^2<= zr
Geometricamente, é o porção do espaço acima do paraboloide
z=x^2+y^2,
cortada pelas planícies horizontais
z=1 e z=2,
ou seja, o “fatia” do paraboloide compreendido entre essas duas alturas.

Resposta

Omega=(x,y,z)inR^3mid 1<= z<= 2,;x^2+y^2<= z

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