Em cada caso inverta a ordem de integração.
f) integral-1^1[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) d y] d x.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: temos a integral original
[\n\int_{-1}^{1} \bigl[\int_{-\sqrt{1-x{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y) , dy\bigr] dx.
]
O objetivo é inverter a ordem de integração. Esse problema envolve cálculo de integrais duplas, especificamente a troca de ordem de integração, e será preciso interpretar geometricamente a região de integração para determinar os novos limites.

Passo 2

Identificação da região de integração D: pelos limites originais temos
[\n-1 \le x \le 1, \quad -\sqrt{1-x^{2}} \le y \le \sqrt{1-x^{2}}.
]
Isso descreve o disco de raio 1 centrado na origem no plano xy, dado por x^2+y^2 <= 1.

Passo 3

Projeção da região D no eixo y para inverter a ordem de integração: observando o disco, o valor de y varia de -1 a 1, ou seja
[\n-1 \le y \le 1.
]
Para um y fixo, os valores de x satisfazem x^2+y^2 <= 1, o que implica
[\n-\sqrt{1-y^{2}} \le x \le \sqrt{1-y^{2}}.
]

Passo 4

Escrever a integral invertida trocando as ordens de integração: primeiro integramos em x e depois em y, usando os limites obtidos:
[\n\int_{-1}^{1} \Bigl[\int_{-\sqrt{1-y{2}}}{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y) , dx\Bigr] dy.
]

Resposta

[\n\int_{-1}^{1} \Bigl[\int_{-\sqrt{1-y{2}}}{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y) , dx\Bigr] dy.
]

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