Em cada caso inverta a ordem de integração.
f)
.
f)
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: temos a integral original
[\n\int_{-1}^{1} \bigl[\int_{-\sqrt{1-x{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y) , dy\bigr] dx.
]
O objetivo é inverter a ordem de integração. Esse problema envolve cálculo de integrais duplas, especificamente a troca de ordem de integração, e será preciso interpretar geometricamente a região de integração para determinar os novos limites.
[\n\int_{-1}^{1} \bigl[\int_{-\sqrt{1-x{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y) , dy\bigr] dx.
]
O objetivo é inverter a ordem de integração. Esse problema envolve cálculo de integrais duplas, especificamente a troca de ordem de integração, e será preciso interpretar geometricamente a região de integração para determinar os novos limites.
Passo 2
Identificação da região de integração D: pelos limites originais temos
[\n-1 \le x \le 1, \quad -\sqrt{1-x^{2}} \le y \le \sqrt{1-x^{2}}.
]
Isso descreve o disco de raio 1 centrado na origem no plano xy, dado por .
[\n-1 \le x \le 1, \quad -\sqrt{1-x^{2}} \le y \le \sqrt{1-x^{2}}.
]
Isso descreve o disco de raio 1 centrado na origem no plano xy, dado por
Passo 3
Projeção da região D no eixo y para inverter a ordem de integração: observando o disco, o valor de y varia de -1 a 1, ou seja
[\n-1 \le y \le 1.
]
Para um y fixo, os valores de x satisfazem , o que implica
[\n-\sqrt{1-y^{2}} \le x \le \sqrt{1-y^{2}}.
]
[\n-1 \le y \le 1.
]
Para um y fixo, os valores de x satisfazem
[\n-\sqrt{1-y^{2}} \le x \le \sqrt{1-y^{2}}.
]
Passo 4
Escrever a integral invertida trocando as ordens de integração: primeiro integramos em x e depois em y, usando os limites obtidos:
[\n\int_{-1}^{1} \Bigl[\int_{-\sqrt{1-y{2}}}{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y) , dx\Bigr] dy.
]
[\n\int_{-1}^{1} \Bigl[\int_{-\sqrt{1-y{2}}}{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y) , dx\Bigr] dy.
]
Resposta
[\n\int_{-1}^{1} \Bigl[\int_{-\sqrt{1-y{2}}}{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y) , dx\Bigr] dy.
]
]