Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas elevadas a potências e aplicar isso para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é a integral em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tratar ela como um número constante durante essa integração.
Passo 3
Vamos simplificar a integral interna. Temos:
Agora, precisamos resolver
. Para isso, usamos uma técnica de redução para potências ímpares de seno.
Passo 4
Sabemos que
pode ser reescrito como:
Isso facilita a integração usando substituição.
Passo 5
Vamos fazer a substituição:
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando em relação a
:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando em
:
E em
:
Passo 8
Calculando a diferença:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 9
Agora, voltamos à integral externa:
Integrando
:
Resposta
A integral iterada vale
.