Calcule as integrais iteradas.
integral0^2 integral0^pi3 t^2 sen^3 phi d phi d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral0^2 integral0^pi3 t^2 sin^3 phi , dphi , dt
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas elevadas a potências e aplicar isso para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é a integral em relação a integral0^pi3 t^2 sin^3 phi , dphi :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tratar ela como um número constante durante essa integração.

Passo 3

Vamos simplificar a integral interna. Temos:
t^2 integral0^pi3 sin^3 phi , dphi
Agora, precisamos resolver . Para isso, usamos uma técnica de redução para potências ímpares de seno.

Passo 4

Sabemos que sin^3 phi = sin phi cdot (1 - cos^2 phi) pode ser reescrito como:
Isso facilita a integração usando substituição.

Passo 5

Vamos fazer a substituição:
u = cos phi Rightarrow du = -sin phi , dphi
Substituindo na integral:
integral sin^3 phi , dphi = integral sin phi (1 - cos^2 phi) , dphi = integral (1 - u^2) (-du) = integral (u^2 - 1) , du

Passo 6

Integrando em relação a integral (u^2 - 1) , du = u^33 - u + C :
cos^3 phi3 - cos phi + C
Voltando para :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [ cos^3 phi3 - cos phi ]0^pi3 a cos^3 ( pi3 )3 - cos ( pi3 ) = ( 12 )^33 - 12 = 124 - 12 = -1124 :
cos^3(0)3 - cos(0) = 13 - 1 = -23
Calculando em :
E em :

Passo 8

Calculando a diferença:
-1124 - ( -23 ) = -1124 + 1624 = 524
Então, a integral interna resulta em .

Passo 9

Agora, voltamos à integral externa:
integral0^2 t^2 cdot 524 , dt = 524 integral0^2 t^2 , dt
Integrando 524 [ t^33 ]0^2 = 524 ( 83 - 0 ) = 524 cdot 83 = 4072 = 59 :

Resposta

A integral iterada vale .

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