Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^4 integralraizy^2 e^x^3 d x d y

Passo 1

Temos a integral dupla integral0^4integralraizy^2 e^x^3,dx,dy. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas e precisaremos esboçar a região de integração e determinar os novos limites.

Passo 2

Esboçando a região no plano xy, vemos que as curvas são x=raizy (ou y=x^2), a reta vertical x=2 e a reta horizontal y=0. Invertendo a ordem de integração, para um x fixo em 0 a 2, y varia de 0 até x^2. Logo, temos:
integral0^4integralraizy^2 e^x^3,dx,dy =integral0^2integral0^x^2 e^x^3,dy,dx

Passo 3

Para a integral interna em y, e^x^3 é constante, então:
integral0^x^2 e^x^3,dy = y,e^x^3|0^x^2 = x^2e^x^3

Passo 4

Fica então a integral de uma variável:
integral0^2 x^2e^x^3,dx
Com a substituição u=x^3, temos du=3x^2dx e x^2dx = du3. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=8. Portanto,
integral0^2 x^2e^x^3,dx = integral0^8 e^u,du3 = 13(e^8-1)

Resposta

e^8-13

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