Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Temos a integral dupla . O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas e precisaremos esboçar a região de integração e determinar os novos limites.
Passo 2
Esboçando a região no plano , vemos que as curvas são (ou ), a reta vertical e a reta horizontal . Invertendo a ordem de integração, para um fixo em 0 a 2, varia de 0 até . Logo, temos:
Passo 3
Para a integral interna em , é constante, então:
Passo 4
Fica então a integral de uma variável:
integral0^2 x^2e^x^3,dx
Com a substituição u=x^3, temos du=3x^2dx e x^2dx = du3. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=8. Portanto,