Sejam
e
duas soluções da seguinte equação diferencial de segunda ordem
a) Se
é o Wronskiano de
e
, mostre que
Passo 1
Temos a equação diferencial de segunda ordem
e duas soluções
e
. Queremos mostrar que o Wronskiano
satisfaz a relação
. Para isso, vamos usar a definição de
e substituir
e
obtidas da própria ODE.
Passo 2
Definimos o Wronskiano das soluções como
Passo 3
Calculamos a derivada de
usando a regra do produto. Como os termos
se cancelam, obtemos
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para ligar com a ODE:
Passo 5
Como cada
satisfaz
, substituímos em cada termo:
Passo 6
Os termos que envolvem
se cancelam, sobrando
$$a_{2}W
Passo 7
=-a_{1}(y_{1}y_{2}prime-y_{1}primey_{2})=-a_{1}W$$
Passo 8
Reescrevendo, chegamos à identidade desejada: