Sejam y1 e y2 duas soluções da seguinte equação diferencial de segunda ordem
a2(x) y^prime prime+a1 y^prime+a0(x) y=0
a) Se W(y1, y2) é o Wronskiano de y1 e y2, mostre que
a2(x) d Wd x+a1(x) W=0

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem a2(x)y''+a1(x)y'+a0(x)y=0 e duas soluções y1 e y2. Queremos mostrar que o Wronskiano W=y1y2'-y1'y2 satisfaz a relação a2(x)W'+a1(x)W=0. Para isso, vamos usar a definição de W e substituir y1'' e y2'' obtidas da própria ODE.

Passo 2

Definimos o Wronskiano das soluções como
W=y1y2prime-y1primey2

Passo 3

Calculamos a derivada de W usando a regra do produto. Como os termos y1primey2prime se cancelam, obtemos
W'=y1y2''-y1''y2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por a2(x) para ligar com a ODE:
a2Wprime=a2y1y2primeprime-a2y1primeprimey2

Passo 5

Como cada yi satisfaz a2yi''=-a1yi'-a0yi, substituímos em cada termo:
a2W'=-a1y1y2'-a0y1y2+a1y1'y2+a0y1y2

Passo 6

Os termos que envolvem a0 se cancelam, sobrando
$$a_{2}W

Passo 7

=-a_{1}(y_{1}y_{2}prime-y_{1}primey_{2})=-a_{1}W$$

Passo 8

Reescrevendo, chegamos à identidade desejada:
a2(x)Wprime+a1(x)W=0

Resposta

a2(x)dfracdWdx+a1(x)W=0

Exercícios relacionados