Em cada caso inverta a ordem de integração.
g) integral-1^1[integralx^2^raiz2-x^2 f(x, y) d y] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral integral-1^1gl[integralx^2^raiz2-x^2f(x,y),dygr]dx. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e para isso precisamos descrever a região de integração D e projetá-la nos eixos.

Passo 2

A região D é definida por
-1<= x<=1, x^2<= y<=raiz2-x^2
Geometricamente, é a parte entre a parábola y=x^2 e a semicircunferência y=raiz2-x^2, para x de -1 a 1.

Passo 3

Projetando D no eixo y, o menor valor de y é 0 (quando x=0 na parábola) e o maior é raiz2 (quando x=0 na circunferência). Logo
0<= y<=raiz2

Passo 4

Para um y fixo em [0,raiz2], as condições de x são
x^2<= y e x^2<= 2-y^2,
isto é,
-raizy<= x<= raizy e -raiz2-y^2<= x<= raiz2-y^2
A interseção dá
-minl(raizy,raiz2-y^2r)<= x<= minl(raizy,raiz2-y^2r)

Passo 5

Comparamos raizy e raiz2-y^2. Igualando y=2-y^2 obtemos y=1. Assim:
  • Para 0<= y<=1, temos raizy<=raiz2-y^2, logo xin[-raizy,raizy].
  • Para 1<= y<=raiz2, temos raiz2-y^2<=raizy, logo xin[-raiz2-y^2,raiz2-y^2].

Passo 6

Finalmente, escrevemos a integral com a ordem trocada em duas parcelas:

Resposta

[\n\int_{-1}{1}\int_{x{2}}{\sqrt{2-x{2}}}f(x,y),dy,dx

\int_{0}{1}\int_{-\sqrt{y}}{\sqrt{y}}f(x,y),dx,dy
+
\int_{1}{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-y{2}}}{\sqrt{2-y{2}}}f(x,y),dx,dy
]

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