Em cada caso inverta a ordem de integração.
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e para isso precisamos descrever a região de integração
e projetá-la nos eixos.
Passo 2
A região
é definida por
Geometricamente, é a parte entre a parábola
e a semicircunferência
, para
de
a
.
Passo 3
Projetando
no eixo
, o menor valor de
é
(quando
na parábola) e o maior é
(quando
na circunferência). Logo
Passo 4
Para um
fixo em
, as condições de
são
isto é,
A interseção dá
Passo 5
Comparamos
e
. Igualando
obtemos
. Assim:
- Para
, temos , logo . - Para
, temos , logo .
Passo 6
Finalmente, escrevemos a integral com a ordem trocada em duas parcelas:
Resposta
[\n\int_{-1}{1}\int_{x{2}}{\sqrt{2-x{2}}}f(x,y),dy,dx
\int_{0}{1}\int_{-\sqrt{y}}{\sqrt{y}}f(x,y),dx,dy
+
\int_{1}{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-y{2}}}{\sqrt{2-y{2}}}f(x,y),dx,dy
]
+
\int_{1}{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-y{2}}}{\sqrt{2-y{2}}}f(x,y),dx,dy
]