Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
c) y^2=4 x e x^2=4 y.

Passo 1

A questão pede a área da região em comum às parábolas y^2 = 4x e x^2 = 4y. O conteúdo é área via integral dupla, então vamos precisar: achar as interseções, entender qual curva serve de limite esquerdo/direito (ou inferior/superior) e montar a integral adequada.

Passo 2

Para encontrar os pontos em que as curvas se cruzam, resolvemos simultaneamente y^2 = 4x e x^2 = 4y. Da primeira temos x = y^24. Substituindo em x^2 = 4y
l(y^24r)^2 = 4y
ou seja,
y^416 = 4y ,Rightarrow, y^4 = 64y ,Rightarrow, y(y^3 - 64) = 0
Logo y=0 ou y=4. Substituindo de volta em x=tfracy^24 obtemos os pontos de interseção (0,0) e (4,4).

Passo 3

Agora, para 0<= y<=4, isolamos x em cada curva:
da parábola y^2=4x: x = y^24,á
da parábola x^2=4y: x = 2raizy(ramo positivo)á
Verificamos que, para cada y nessa faixa, a curva x=tfracy^24 fica à esquerda de x=2raizy. Então a integral dupla para a área é
A = integraly=0^4 l[ integralx=tfracy^24^2raizy dx r] dy
Efetuando a integração interna em x obtemos
A = integral0^4 l(2raizy - y^24r) dy

Passo 4

Agora só falta calcular essa integral:
integral0^42y^1/2dy = 2 cdot 23y^3/2|0^4 = 43cdot 8 = 323,
integral0^4y^24dy = 14cdot y^33|0^4 = 112cdot 64 = 163
Subtraindo os resultados:
A = 323 - 163 = 163

Resposta

163

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