Em cada caso inverta a ordem de integração.
i) integral0^3[integralx^2-2 x^raiz3 x f(x, y) d y] d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada integral0^3gl[integralx^2-2x^raiz3xf(x,y),dygr]dx. Queremos inverter a ordem de integração, ou seja, descrever a mesma região DsubsetR^2 trocando dx,dy por dy,dx.

Passo 2

Precisamos entender a região de integração
D = {,(x,y): 0 \le x \le 3,; x^2 -2x \le y \le \sqrt{3x},}.
As curvas que limitam D são
y = x^2 -2x(parábola) á
e
y = raiz3x(raiz quadrada, definida para x>=0)
com x variando de 0 a 3.

Passo 3

Para inverter, primeiro achamos o intervalo de y. O mínimo de y = x^2 -2x em [0,3] ocorre em x=1 dando ymin=-1. O máximo de y=raiz3x em [0,3] é raiz9=3. Logo
-1<= y<= 3

Passo 4

Em seguida, para um y fixo, identificamos os valores de x que satisfazem
x^2 -2x <= yLong<=ftrightarrow xinl[1-raiz1+y,,1+raiz1+yr]
e
y <= raiz3xLong<=ftrightarrow x>= y^23
Comparando essas condições em dois trechos de y:
  • Para -1<= y<= 0, tem-se 1-raiz1+y>=0 e 1-raiz1+y>= y^2/3, então
    x vai de 1-raiz1+y até 1+raiz1+y.
  • Para 0<= y<= 3, nota-se que y^2/3>=0>1-raiz1+y, então
    x vai de y^2/3 até 1+raiz1+y.

Passo 5

Finalmente, reescrevemos a integral invertida dividindo em dois pedaços conforme y:
integral-1^0!integral1-raiz1+y^,1+raiz1+yf(x,y),dx,dy +integral0^3!integraly^2/3^,1+raiz1+yf(x,y),dx,dy

Resposta

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