Seja f(x1, x2, ldots, xn)=x1^2+x2^2+cdots+xn^2. Determine
Calcule f(1,2, ldots, n).

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f(x1,dots,xn)=x1^2+cdots+xn^2 e queremos calcular f(1,2,dots,n). O conteúdo é soma de quadrados de inteiros de 1 até n e vamos usar a fórmula fechada dessa soma.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
f(1,2,dots,n)=1^2+2^2+cdots+n^2=sumk=1^nk^2

Passo 3

Há uma fórmula clássica para essa soma, que podemos demonstrar por indução. Primeiro, para n=1:
1^2 = 1cdot2cdot36=1,
o que bate. Agora, suponha que
sumk=1^nk^2=n(n+1)(2n+1)6

Passo 4

Então para n+1 temos
sumk=1^n+1k^2=sumk=1^nk^2+(n+1)^2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)^2

Passo 5

Fatorando (n+1) e simplificando, chega-se a
(n+1)(n+2)(2n+3)6,que é exatamente a fórmula esperada para n+1. Assim, por indução, vale para todo n.
Logo, concluímos que
1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2n+1)6

Resposta

f(1,2,dots,n)=dfracn(n+1)(2n+1)6.

Exercícios relacionados