Em cada caso inverta a ordem de integração.
h) integral0^pi4[integralsen x^cos x f(x, y) d y] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral integral0^pi4gl[integralsin x^cos xf(x,y),dygr]dx. O conteúdo é inversão de integrais duplas, e vamos precisar descrever a região de integração D no plano (x,y) e depois projetá-la no eixo y.

Passo 2

A região D é dada por
D = (x,y):0 <= x <= tfracpi4,;sin x <= y <= cos x
Aqui usamos que, em [0,tfracpi4], sin x é crescente de 0 a tfracraiz22 e cos x é decrescente de 1 a tfracraiz22.

Passo 3

Projetando D no eixo y, vemos que o valor mínimo de y em D é min0<= x<=pi/4sin x = 0 e o valor máximo é max0<= x<=pi/4cos x = 1. Logo
0 <= y <= 1

Passo 4

Para um y fixo, (x,y)in D se satisfazem
sin x <= y Longrightarrow x <= arcsin y,
y <= cos x Longrightarrow x <= arccos y
Além disso x>=0. Logo
0 <= x <= minl(arcsin y,,arccos yr)
Note que arcsin y = arccos y = tfracpi4 exatamente quando y = tfracraiz22.

Passo 5

Por fim, separamos em dois subintervalos de y:
  • Para 0 <= y <= tfracraiz22 temos arcsin y <= arccos y, então
    tfracraiz22 <= y <= 1.
  • Para arccos y <= arcsin y temos , então
    .
    Com isso escrevemos a integral com a ordem invertida.

Passo 6

A integral invertida fica:
integral0^raiz22integral0^arcsin yf(x,y),dx,dy +integralraiz22^1integral0^arccos yf(x,y),dx,dy

Resposta

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