Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que fazem parte do estudo de séries infinitas em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Observamos que o numerador
cresce muito rápido à medida que
aumenta, já que estamos elevando
a ele mesmo. Já o denominador
cresce mais devagar, pois é uma raiz quadrada.
Passo 3
Para determinar a convergência da série, podemos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite de
:
Sabemos que
cresce exponencialmente, enquanto
tende a zero, mas a taxa de crescimento do numerador é muito maior. Portanto, o limite tende a infinito:
Passo 4
Como o limite do termo geral não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge. Na verdade, ela diverge para o infinito.
Resposta
A série
diverge.