Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(n-1)^n-1 1raiz2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que fazem parte do estudo de séries infinitas em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Observamos que o numerador cresce muito rápido à medida que aumenta, já que estamos elevando a ele mesmo. Já o denominador cresce mais devagar, pois é uma raiz quadrada.

Passo 3

Para determinar a convergência da série, podemos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral limn to infty (n-1)^n-1 1raiz2 n+1 quando limn to infty an = infty neq 0 tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite de :
Sabemos que cresce exponencialmente, enquanto tende a zero, mas a taxa de crescimento do numerador é muito maior. Portanto, o limite tende a infinito:

Passo 4

Como o limite do termo geral não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge. Na verdade, ela diverge para o infinito.

Resposta

A série diverge.

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