Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n+1 nn^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é verificar se a série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste das séries alternadas. Depois, vamos determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que são séries alternadas e quais são as condições do teste que elas precisam atender.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo, como é o caso da nossa série. O teste das séries alternadas nos ajuda a determinar a convergência dessas séries, verificando duas condições principais.

Passo 3

A condição (i) do teste das séries alternadas exige que os termos da sequência sejam decrescentes. Isso significa que, conforme aumenta, os valores dos termos devem diminuir.

Passo 4

Vamos verificar se é decrescente. Observando a expressão, conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, o que faz com que os termos da sequência diminuam. Portanto, a condição (i) está satisfeita.

Passo 5

A condição (ii) do teste das séries alternadas exige que o limite dos termos da sequência seja zero quando limn to infty nn^2+4 tende ao infinito. Vamos calcular esse limite:
limn to infty 1n + 4n = 0
Simplificando, dividimos numerador e denominador por :
Então, o limite é zero, atendendo à condição (ii).

Passo 6

Como ambas as condições do teste das séries alternadas são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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