Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é verificar se a série
satisfaz as condições (i) e (ii) do teste das séries alternadas. Depois, vamos determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que são séries alternadas e quais são as condições do teste que elas precisam atender.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo, como é o caso da nossa série. O teste das séries alternadas nos ajuda a determinar a convergência dessas séries, verificando duas condições principais.
Passo 3
A condição (i) do teste das séries alternadas exige que os termos da sequência
sejam decrescentes. Isso significa que, conforme
aumenta, os valores dos termos devem diminuir.
Passo 4
Vamos verificar se
é decrescente. Observando a expressão, conforme
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, o que faz com que os termos da sequência diminuam. Portanto, a condição (i) está satisfeita.
Passo 5
A condição (ii) do teste das séries alternadas exige que o limite dos termos da sequência seja zero quando
tende ao infinito. Vamos calcular esse limite:
Simplificando, dividimos numerador e denominador por
:
Então, o limite é zero, atendendo à condição (ii).
Passo 6
Como ambas as condições do teste das séries alternadas são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.