Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 raiz[3]nn+1

Passo 1

Estamos estudando a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1raiz[3]nn+1
O conteúdo envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e a análise de convergência absoluta usando comparação com séries-p.

Passo 2

Definimos
an = raiz[3]nn+1>0
Primeiro, verificamos o limite de an:
raiz[3]nn+1 = n^1/3nl(1+tfrac1nr) = n^-2/31+tfrac1n xrightarrow[ntoinfty]0
Para monotonicidade, considere a função f(x)=x^1/3/(x+1). Calculando a derivada,
f'(x)=tfrac13x^-2/3(x+1)-x^1/3(x+1)^2 =1-2x3x^2/3(x+1)^2
Como 1-2x<0 para x>1/2, temos f'(x)<0 para x>=1, ou seja, an é decrescente.

Passo 3

Agora, pelo teste de Leibniz (série alternada com termo geral positivo, decrescente e tendendo a zero), concluímos que
sumn=1^infty(-1)^n-1an
converge.

Passo 4

Para a convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty|(-1)^n-1an| = sumn=1^infty an = sumn=1^inftyraiz[3]nn+1
Para grandes n, ansim n^-2/3, e como sum n^-2/3 é série-p com p=2/3<=1, ela diverge. Logo a série de módulos diverge e não é absolutamente convergente.

Resposta

Converge condicionalmente.

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