Em cada caso inverta a ordem de integração.
a)
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a)
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração do integral iterado $$
\int_{0}{1}\Bigl(\int_{0}{x} f(x,y)\,dy\Bigr) dx.
$$ O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas. Vamos precisar identificar a região de integração no plano (x,y) e depois reescrever os limites trocando x e y.
\int_{0}{1}\Bigl(\int_{0}{x} f(x,y)\,dy\Bigr) dx.
$$ O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas. Vamos precisar identificar a região de integração no plano (x,y) e depois reescrever os limites trocando x e y.
Passo 2
A região D do plano é dada por todos os pontos (x,y) tais que 0 ≤ x ≤ 1 e, para cada x, 0 ≤ y ≤ x. Em forma de conjunto:
$$
D =
\{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le x\}.
$$ Aqui usamos a definição geométrica de domínio de integração de um integral iterado.
D =
\{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le x\}.
$$ Aqui usamos a definição geométrica de domínio de integração de um integral iterado.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. O menor valor de y em D é y=0 e o maior é y=1 (pois quando x chega a 1, y pode chegar a 1). Para um y fixo em [0,1], o x correspondente varia de x=y (linha y=x) até x=1. Esse passo usa o conceito de projeção de domínio no eixo das ordenadas.
Passo 4
Com esses limites em mãos, reescrevemos o integral trocando a ordem de integração: primeiro integramos em x de y até 1, depois em y de 0 até 1. Isso completa a inversão da ordem de integração.
Resposta
$$
\int_{0}{1}\int_{y}{1} f(x,y)\,dx\,dy
$$
\int_{0}{1}\int_{y}{1} f(x,y)\,dx\,dy
$$