Em cada caso inverta a ordem de integração.
g) integral-1^1[integralx^2^raiz2-x^2 f(x, y) d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede pra inverter a ordem de integração do integral integralx=-1^1l[integraly=x^2^y=raiz2-x^2f(x,y),dyr]dx. O conteúdo é geometria de regiões no plano e troca de integrais duplas, e vamos precisar descrever a região D dada por xin[-1,1] e yin[x^2,,raiz2-x^2].

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da região D. As curvas limites são a parábola y = x^2 e a semicírculo y = raiz2 - x^2, ambas para x entre -1 e 1. A região fica entre elas.

Passo 3

Para trocar a ordem, identificamos o menor e o maior valor de y em D. A parábola dá y=x^2>=0 e o semicírculo atinge y=raiz2 em x=0. Logo, o intervalo de y vai de 0 até raiz2.

Passo 4

Em seguida, para cada valor fixo de y, achamos os valores de x que satisfazem simultaneamente
x^2<= y
e
y<= raiz2-x^2 iff x^2<= 2 - y^2
Isso dá a condição |x|<=min(raizy,,raiz2-y^2).

Passo 5

Determinamos onde raizy=raiz2-y^2, ou seja
y = 2 - y^2 implies y^2 + y - 2 = 0 implies y = 1 (descartamos raiz negativa)
Assim, para 0<= y<=1 vale |x|<=raizy, e para 1<= y<=raiz2 vale |x|<=raiz2-y^2.

Passo 6

Finalmente, escrevemos o integral invertido em duas partes: primeiro para yin[0,1] e depois para yin[1,raiz2], colocando x nos limites encontrados.

Resposta

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