Nos exercícios
, encontre a solução geral das EDO.
Passo 1
A EDO dada é
, que é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a técnica da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica.
Passo 2
Assumimos uma solução tipo
. Substituindo na EDO, temos que as derivadas são
e
, de modo que surge a equação característica:
Passo 3
Calculamos o discriminante dessa equação:
. Como
, existe uma raiz dupla dada por
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raiz dupla
, o espaço de soluções é gerado por duas funções independentes:
e
. Aqui, com
, obtemos as soluções fundamentais:
e
.
Resposta
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}x e^{-x}