Nos exercícios 1-6, encontre a solução geral das EDO.
y^prime prime+2 y^prime+y=0

Passo 1

A EDO dada é y'' + 2y' + y = 0, que é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a técnica da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica.

Passo 2

Assumimos uma solução tipo y = e^r x. Substituindo na EDO, temos que as derivadas são y' = r e^r x e y'' = r^2 e^r x, de modo que surge a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação: De. Como De, existe uma raiz dupla dada por r = -1.

Passo 4

Quando a equação característica tem raiz dupla r0, o espaço de soluções é gerado por duas funções independentes: e^r0 x e x e^r0 x. Aqui, com r0 = -1, obtemos as soluções fundamentais: y1(x) = e^-x e y2(x) = x e^-x.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}x e^{-x}

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