Em cada caso inverta a ordem de integração.
e) integral0^1[integraly^y+3 f(x, y) d x] d y.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^1l[integraly^y+3f(x,y),dxr]dy
Aqui o conteúdo é duplas integrais e precisamos identificar a região de integração no plano (x,y) para reescrever os limites.

Passo 2

A região R é definida por
R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y<= x<= y+3
Isto vem diretamente das desigualdades dos limites internos e externos. O valor de x na região vai do mínimo de x=y (quando y=0) até o máximo de x=y+3 (quando y=1). Logo x varia de 0 a 4.

Passo 3

Para um x fixo em [0,4], y deve satisfazer simultaneamente
0<= y<=1, y<= x, e x<= y+3,
isto é
yin[max(0,x-3),,min(1,x)]
Vemos que os pontos em que \max(0,x-3) e \min(1,x) mudam são x=1 e x=3. Quebrando em três trechos de x: [0,1], [1,3] e [3,4], obtemos a integral invertida como soma de três integrais:

Resposta

integral0^1!integral0^xf(x,y),dy,dx +integral1^3!integral0^1f(x,y),dy,dx +integral3^4!integralx-3^1f(x,y),dy,dx

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