Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
b) D=(x, y, z) in R^3 ; x^2+4 y^2 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do volume do sólido D definido pelas inequações x^2+4y^2<= z<= 1. O conteúdo aqui é integração tripla para volume: vamos projetar D no plano xy e transformar em uma integral dupla.

Passo 2

Como z varia entre x^2+4y^2 e 1, temos
V=integral triplaD dV=integral duplax^2+4y^2<=1l(1-(x^2+4y^2)r),dA

Passo 3

Para tratar a região elíptica x^2+4y^2<=1, fazemos a substituição u=x, v=2y. Nesse mapeamento a região vira o disco u^2+v^2<=1 e o Jacobiano satisfaz dA=tfrac12,dAuv. Assim
V=tfrac12integral duplau^2+v^2<=1l(1-(u^2+v^2)r),dAuv

Passo 4

Em coordenadas polares u=rcostheta, v=rsintheta com rin[0,1], thetain[0,2pi] e dAuv=r,dr,dtheta, obtemos
V=tfrac12integral0^2piintegral0^1(1-r^2),r,dr,dtheta

Passo 5

Calculando a integral interna:
integral0^1(r-r^3),dr=[tfracr^22-tfracr^44]0^1=tfrac12-tfrac14=tfrac14, portanto
V=tfrac12cdot2picdottfrac14=tfracpi4

Resposta

tfracpi4

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