CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.2 (Veja Soluções de Problemas Selecionados de Ordem Ímpar ao final do liuro.) Nos Problemas 1-16, calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
, onde
é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de
a
e de
a
.
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular a integral de linha
, onde
é o polígono formado pelos segmentos de reta de
até
e de
até (z=1+i). O conteúdo envolvido é integração de funções analíticas no plano complexo e vamos precisar do teorema fundamental do cálculo para complexas.
Passo 2
Como
é uma função inteira (analítica em todo
), ela admite uma primitiva global dada por
. Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, temos:
Aqui o ponto inicial é
Passo 3
Para deixar o resultado mais explícito, usamos a fórmula de Euler para cosseno complexo:
Substituindo, obtemos a forma em termos de funções reais hiperbólicas e trigonométricas: