CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.2 (Veja Soluções de Problemas Selecionados de Ordem Ímpar ao final do liuro.) Nos Problemas 1-16, calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
integralC sen z d z, onde C é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de z=0 a z=1 e de z=1 a z=1+i.

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral de linha integralC sin z,dz, onde C é o polígono formado pelos segmentos de reta de z=0 até z=1 e de z=1 até (z=1+i). O conteúdo envolvido é integração de funções analíticas no plano complexo e vamos precisar do teorema fundamental do cálculo para complexas.

Passo 2

Como sin z é uma função inteira (analítica em todo C), ela admite uma primitiva global dada por F(z) = -cos z. Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, temos:
nabla F(z)=F'(z)=sin zLongrightarrow integralC sin z,dz = Fl(zfinalr)-Fl(zinicialr)
Aqui o ponto inicial é z=0 e o ponto final (levando em conta os dois segmentos como um só caminho contínuo) é z=1+i. Logo,

Passo 3

Para deixar o resultado mais explícito, usamos a fórmula de Euler para cosseno complexo:

Substituindo, obtemos a forma em termos de funções reais hiperbólicas e trigonométricas:

Resposta

1 - cos(1+i) = (1 - cos1cosh1) + isin1sinh1

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