Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
a) f(x, y)=x cos y e D=(x, y) in R^2 ; x >= 0, x^2 <= y <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x cos y sobre o domínio D={(x,y): x≥0 e x²≤y≤π} e desenhar D. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas e aplicação de integração por partes.

Passo 2

Para entender D, note que a condição x²≤y≤π com x≥0 define a região em que y varia de baixo pela parábola y=x² até a reta y=π. Equivalentemente, y vai de 0 até π e, para cada y, x vai de 0 até √y. Esse esboço é um “chapéu de chuva” virado para cima, limitado pela parábola y=x² à esquerda e por y=π acima.

Passo 3

Reescrevemos a integral como iterada trocando a ordem para dydx:
integral duplaD xcos y,dx,dy = integraly=0^pi gl(integralx=0^raizy x,dxgr) cos y,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integral0^raizy x,dx = x^22|0^raizy = y2

Passo 5

Substituindo de volta, fica
integral duplaD xcos y,dx,dy = integral0^pi y2 cos y,dy = 12 integral0^pi ycos y,dy

Passo 6

Para integrar integral0^pi ycos y,dy, usamos integração por partes: escolhemos u=y e dv=cos y,dy, então du=dy e v=sin y. Assim,
integral0^pi ycos y,dy = l[ysin yr]0^pi - integral0^pi 1cdotsin y,dy = (picdot0 -0cdot0) - l[-cos yr]0^pi = 0 - [ -cospi + cos0 ] = -(-1+1)= -2

Passo 7

Multiplicando por 1/2, obtemos o valor da integral dupla:
integral duplaD xcos y,dx,dy = 12(-2) = -1

Passo 8

O esboço de D é a região no primeiro quadrante entre a parábola y=x^2 e a reta horizontal y=pi, de x=0 até x=raizpi.

Resposta

-1

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