Calcule, em cada caso, a e esboce o domínio .
a) e .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x cos y sobre o domínio D={(x,y): x≥0 e x²≤y≤π} e desenhar D. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas e aplicação de integração por partes.
Passo 2
Para entender D, note que a condição x²≤y≤π com x≥0 define a região em que y varia de baixo pela parábola y=x² até a reta y=π. Equivalentemente, y vai de 0 até π e, para cada y, x vai de 0 até √y. Esse esboço é um “chapéu de chuva” virado para cima, limitado pela parábola y=x² à esquerda e por y=π acima.
Passo 3
Reescrevemos a integral como iterada trocando a ordem para dydx:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em x:
Passo 5
Substituindo de volta, fica
integral duplaD xcos y,dx,dy = integral0^pi y2 cos y,dy = 12 integral0^pi ycos y,dy
Passo 6
Para integrar integral0^pi ycos y,dy, usamos integração por partes: escolhemos u=y e dv=cos y,dy, então du=dy e v=sin y. Assim,