Em cada caso, mostre que a função z=f(x, y) sugerida não tem limite quando (x, y) (0,0).
z=x^4+y^2+2 x y^3(x^2+y^2)^2

Passo 1

A questão pede para mostrar que a função z=f(x,y), dada por
f(x,y)=x^4+y^2+2xy^3(x^2+y^2)^2,
não tem limite quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos testar diferentes caminhos para verificar que não há um único valor de limite.

Passo 2

Primeiro, siga o caminho y=0. Substituindo em f:
f(x,0)=x^4+0+2xcdot0(x^2+0)^2=x^4x^4=1(xneq0)
Assim, ao longo de y=0,
limxto0f(x,0)=1

Passo 3

Agora, siga o caminho x=0. Substituindo em f:
f(0,y)=0+y^2+0(0+y^2)^2=y^2y^4=1y^2(yneq0)
Então, ao longo de x=0,
limyto0f(0,y)=+infty,
ou seja, a função diverge.

Passo 4

Como obtemos dois comportamentos distintos — limite finito 1 ao longo de y=0 e divergência ao longo de x=0 — o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

A função não tem limite quando (x,y)to(0,0).

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