Use o teorema de Stokes para a integral de linha
se
e e
for a fronteira orientada da superficie que consiste na parte do cilindro
no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o teorema de Stokes. A matéria envolvida é cálculo vetorial (rotacional e teorema de Stokes). Vamos precisar de: 1) calcular
, 2) parametrizar a superfície
no primeiro octante limitada por
, 3) obter o vetor normal orientado, e 4) montar e resolver a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o campo
como
O rotacional é dado por
Calculando cada derivada, obtemos
Passo 3
Parametrizamos a superfície
pelo mapeamento
com domínio
pois em primeiro octante
implica
e
.
Passo 4
Para aplicar Stokes, precisamos do vetor normal orientado. Como
é dado por
, podemos usar
Então o integrando é
Passo 5
Basta agora calcular a integral dupla sobre
:
Fazendo a integral em
:
Agora em
:
Resposta
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