Use o teorema de Stokes para a integral de linha
ointc F cdot T d s
se F(x, y, z)=x z i+x y j+y^21 e e C for a fronteira orientada da superficie que consiste na parte do cilindro z=4-x^2 no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC Fcdot T,ds usando o teorema de Stokes. A matéria envolvida é cálculo vetorial (rotacional e teorema de Stokes). Vamos precisar de: 1) calcular nablatimes F, 2) parametrizar a superfície Scolon z=4-x^2 no primeiro octante limitada por x=0,y=0,y=3,z>=0, 3) obter o vetor normal orientado, e 4) montar e resolver a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o campo F=(P,Q,R) como
P(x,y,z)=x z, Q(x,y,z)=x y, R(x,y,z)=y^2
O rotacional é dado por
nablatimes F= l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Calculando cada derivada, obtemos
nablatimes F=(2y,,x,,y)

Passo 3

Parametrizamos a superfície S pelo mapeamento
r(x,y)=(x,,y,,4-x^2),
com domínio
D=(x,y):0<= x<=2,;0<= y<=3,
pois em primeiro octante z=4-x^2>=0 implica 0<= x<=2 e 0<= y<=3.

Passo 4

Para aplicar Stokes, precisamos do vetor normal orientado. Como z=4-x^2 é dado por zx=-2x,;zy=0, podemos usar
n=(-zx,-zy,1)=(2x,0,1)
Então o integrando é
(nablatimes F)cdot n=(2y,,x,,y)cdot(2x,0,1)=4xy+y

Passo 5

Basta agora calcular a integral dupla sobre D:
integral duplaD(4xy+y),dA=integraly=0^3integralx=0^2(4xy+y),dx,dy
Fazendo a integral em x:
integral0^2(4xy+y),dx=4yintegral0^2x,dx+yintegral0^2dx=4ycdot2+ycdot2=8y+2y=10y
Agora em y:
integral0^3 10y,dy=10cdoty^22|0^3=5cdot9=45

Resposta

45

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