Usando a fórmula integral de Cauchy calcule as seguintes integrais:
em que
é o círculo
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de contorno
onde
é o círculo
. Vou assumir a orientação padrão de contorno (contrária ao sentido dos ponteiros do relógio). As singularidades das partes do integrando são
(para
) e
(para
). Ambas estão dentro do círculo
, pois
e
.
Passo 2
Usamos a linearidade da integral de contorno: a integral total é a diferença das duas integrais separadas. Ou seja,
Cada uma das duas integrais será tratada com a fórmula integral de Cauchy para derivadas (fórmula generalizada).
Passo 3
Apresento a fórmula integral de Cauchy generalizada (essencial para o cálculo direto aqui):
onde
é função holomorfa (analítica) em e dentro de
,
é um ponto interior a
, e
é um inteiro não-negativo. Aqui
é a
-ésima derivada de
avaliada em
e
é o fatorial de
. Em palavras: integrar
ao redor de
retorna
vezes a derivada de ordem
de
em
, dividida por
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao primeiro termo
.
Identificamos ,
, logo
e
. Tomamos
, que é inteira (analítica em todo
). Calculamos as derivadas necessárias:
Identificamos
Avaliamos em
:
Pela fórmula de Cauchy:
Passo 5
Agora o segundo termo
.
Aqui e
, então
e
. Tomamos
, que é polinomial (então analítica). Calculamos a derivada:
Aqui
Lembrando que
e
, temos
Pela fórmula de Cauchy,
Fazendo a conta com os
:
Lembre que no integrando original esse termo tem sinal negativo, portanto a contribuição do segundo termo para a integral total é
.
Passo 6
Somamos as duas contribuições obtidas:
- primeira integral:
, - segunda (com o sinal menos do integrando):
.
Logo a integral total vale