Usando a fórmula integral de Cauchy calcule as seguintes integrais:
\int_{C}\left(\frac{e^{2 i z}}{z^{3}}-\frac{z^{4}}{(z-i)^{2}}\right) d z em que C é o círculo |z|=5

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de contorno
\int_{C}\left(\frac{e^{2 i z}}{z^{3}}-\frac{z^{4}}{(z-i)^{2}}\right)\,dz
onde C é o círculo |z|=5. Vou assumir a orientação padrão de contorno (contrária ao sentido dos ponteiros do relógio). As singularidades das partes do integrando são z=0 (para \frac{e^{2 i z}}{z^{3}}) e z=i (para \frac{z^{4}}{(z-i)^{2}}). Ambas estão dentro do círculo |z|=5, pois |0|=0<5 e |i|=1<5.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral de contorno: a integral total é a diferença das duas integrais separadas. Ou seja,
\int_{C}\left(\frac{e^{2 i z}}{z^{3}}-\frac{z^{4}}{(z-i)^{2}}\right)\,dz = \int_{C}\frac{e^{2 i z}}{z^{3}}\,dz - \int_{C}\frac{z^{4}}{(z-i)^{2}}\,dz.
Cada uma das duas integrais será tratada com a fórmula integral de Cauchy para derivadas (fórmula generalizada).

Passo 3

Apresento a fórmula integral de Cauchy generalizada (essencial para o cálculo direto aqui):
\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz=\frac{f^{(n)}(a)}{n!},
onde f é função holomorfa (analítica) em e dentro de C, a é um ponto interior a C, e n é um inteiro não-negativo. Aqui f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a e n! é o fatorial de n. Em palavras: integrar \dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} ao redor de C retorna 2\pi i vezes a derivada de ordem n de f em a, dividida por n!.

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao primeiro termo \displaystyle\int_{C}\frac{e^{2 i z}}{z^{3}}\,dz.
Identificamos a=0, (z-a)^{3}=z^{3}, logo n+1=3 e n=2. Tomamos f(z)=e^{2 i z}, que é inteira (analítica em todo \mathbb{C}). Calculamos as derivadas necessárias:
f'(z)=2 i e^{2 i z}, \qquad f''(z)=(2 i)^{2} e^{2 i z}= -4 e^{2 i z}.
Avaliamos em a=0:
f''(0) = -4 e^{0} = -4.
Pela fórmula de Cauchy:
\int_{C}\frac{e^{2 i z}}{z^{3}}\,dz = 2\pi i\cdot\frac{f''(0)}{2!} =2\pi i\cdot\frac{-4}{2} =2\pi i\cdot(-2) =-4\pi i.

Passo 5

Agora o segundo termo \displaystyle\int_{C}\frac{z^{4}}{(z-i)^{2}}\,dz.
Aqui a=i e (z-a)^{2}=(z-i)^{2}, então n+1=2 e n=1. Tomamos g(z)=z^{4}, que é polinomial (então analítica). Calculamos a derivada:
g'(z)=4 z^{3}, \qquad g'(i)=4 i^{3}.
Lembrando que i^{2}=-1 e i^{3}=i^{2}\cdot i=-1\cdot i=-i, temos
g'(i)=4 i^{3}=4(-i)=-4 i.
Pela fórmula de Cauchy,
\int_{C}\frac{z^{4}}{(z-i)^{2}}\,dz = 2\pi i\cdot\frac{g'(i)}{1!} = 2\pi i\cdot(-4 i).
Fazendo a conta com os i:
2\pi i\cdot(-4 i)=2\pi\cdot(-4 i^{2})=2\pi\cdot(-4\cdot(-1))=2\pi\cdot 4=8\pi.
Lembre que no integrando original esse termo tem sinal negativo, portanto a contribuição do segundo termo para a integral total é -8\pi.

Passo 6

Somamos as duas contribuições obtidas:
  • primeira integral: -4\pi i,
  • segunda (com o sinal menos do integrando): -8\pi.
Logo a integral total vale
-8\pi -4\pi i.

Resposta

-8\pi-4\pi i

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