Em cada caso, obtenha o custo marginal e esboce os respectivos gráficos: c) C(x)=2 x^3-10 x^2+30 x+100

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total C(x)=2x^3-10x^2+30x+100 e pede para encontrar o custo marginal (que é a derivada de C(x)) e esboçar os gráficos de C(x) e de seu custo marginal.

Passo 2

Para achar o custo marginal usamos as regras de derivação de polinômios: a derivada de x^n é n x^n-1 e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Aplicando a derivada termo a termo em C(x):
C'(x)=ddxl(2x^3r)-ddxl(10x^2r)+ddxl(30xr)+ddx(100)
C'(x)=6x^2-20x+30+0
Portanto o custo marginal é C'(x)=6x^2-20x+30.

Passo 3

Para esboçar o gráfico de C'(x), notamos que é uma parábola com coeficiente positivo (abre para cima). O vértice fica em
xv=-b2a=--202cdot6=2012=53,
e o valor mínimo em
C'l(5/3r)=6l(53r)^2-20l(53r)+30=403approx13,33
Como o discriminante b^2-4ac=400-720<0, a parábola não cruza o eixo x e C'(x)>0 para todo x.

Passo 4

O gráfico de C(x) é uma cúbica de coeficiente líder positivo (cresce para +infty quando xto+infty e para -infty quando xto-infty), com ponto de inflexão em x=5/3 (onde C''(x)=12x-20=0). O gráfico de C'(x) é uma parábola sempre acima do eixo x, com vértice em (5/3,40/3).

Resposta

O custo marginal é C’(x)=6x^{2}-20x+30. O gráfico de C(x) é uma cúbica crescente com inflexão em x=5/3, e o gráfico de C’(x) é uma parábola que abre para cima, sempre positiva, com vértice em (5/3,40/3).

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