Em cada caso, obtenha a equação e esboce o gráfico da circunferência.
Passa pelos pontos A(1,2) e B(1,-2) e tem raio r=2.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência de raio r=2 que passa pelos pontos A(1,2) e B(1,-2). Para isso, vamos chamar o centro da circunferência de C(h,k) e usar a condição de que a distância de C a cada um desses pontos vale 2.

Passo 2

Escrevemos as equações da distância de C(h,k) a A(1,2) e a B(1,-2):
(h-1)^2 + (k-2)^2 = 2^2 = 4,
(h-1)^2 + (k+2)^2 = 2^2 = 4

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira, eliminamos (h-1)^2:
(k-2)^2 - (k+2)^2 = 0 Longrightarrow k^2 -4k +4 - (k^2 +4k +4) = 0 Longrightarrow -8k = 0 Longrightarrow k = 0

Passo 4

Substituindo k=0 em (h-1)^2 + (k-2)^2 =4, obtemos
(h-1)^2 + (0-2)^2 =4 Longrightarrow (h-1)^2 +4 =4 Longrightarrow (h-1)^2 = 0 Longrightarrow h = 1
Logo o centro é C(1,0).

Passo 5

A equação da circunferência de centro C(1,0) e raio 2 é
(x-1)^2 + (y-0)^2 = 4,
ou simplesmente
(x-1)^2 + y^2 = 4

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
• O centro fica em (1,0).
• O raio 2 atinge os pontos horizontais (1pm2,0)=(-1,0) e (3,0) e os verticais l(1,pm2r), que de fato são A e B.
• Basta desenhar uma circunferência circular centrada em (1,0) passando por esses quatro pontos.

Resposta

A equação é
(x-1)^2 + y^2 = 4
O gráfico é uma circunferência de centro em (1,0) e raio 2, passando por A(1,2) e B(1,-2).

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