Em cada caso a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
b) Região acima do eixo x limitada por x=y^{2} e x=y^{4} em torno do eixo y.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região descrita em torno do eixo y.
Informações dadas:
  • A região é "acima do eixo x" e é limitada pelas curvas x=y^{2} e x=y^{4}.
  • O eixo de rotação é o eixo y.
  • Preciso encontrar o volume do sólido formado por essa rotação.

Passo 2

Entender a região no plano xy. Primeiro identifiquemos onde as duas curvas se encontram (interseções), pois isso dará os limites em y. Igualamos as expressões de x:
y^{2}=y^{4}.
Resolvendo:
y^{4}-y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}(y^{2}-1)=0.
Logo as soluções são y=0 e y=\pm 1. Como a região é "acima do eixo x", consideramos apenas y\ge 0. Portanto o intervalo em y que interessa é
0\le y\le 1.

Passo 3

Identificar qual curva é a fronteira externa (mais à direita) e qual é a interna (mais à esquerda) no intervalo 0\le y\le 1. Para 0\le y\le 1 vale y^{2}\ge y^{4} (porque elevar a um expoente maior diminui o valor quando 0\le y\le 1). Portanto, para cada y em [0,1]:
  • fronteira externa (maior x): x=y^{2},
  • fronteira interna (menor x): x=y^{4}.

Passo 4

Escolha do método e fórmula usada (explicação didática): ao girar uma região em torno do eixo y, uma fatia horizontal em altura y (isto é, um pequeno intervalo dy) gera um “anel” (técnico: disco com furo), também chamado de “washer” ou método dos discos/aros. A área do anel gerado por uma fatia em y é
\pi\big(R(y)^{2}-r(y)^{2}\big),
onde:
  • R(y) é o raio externo do anel (distância do eixo até a curva mais à direita),
  • r(y) é o raio interno do anel (distância do eixo até a curva mais à esquerda).
O volume total é a integral dessa área ao longo de y entre os limites de interseção:
V=\int_{y=a}^{y=b}\pi\big(R(y)^{2}-r(y)^{2}\big)\,dy.
Aqui cada raio é simplesmente a coordenada x da curva, pois o eixo de rotação é x=0 (e a distância de x=0 até um ponto de abscissa x é x). Isto é, se a fronteira direita é x=f(y) então R(y)=f(y).

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: para 0\le y\le 1 temos
R(y)=y^{2},\qquad r(y)=y^{4}.
Logo a expressão para o volume é
V=\int_{0}^{1}\pi\big((y^{2})^{2}-(y^{4})^{2}\big)\,dy.

Passo 6

Simplificar o integrando:
(y^{2})^{2}=y^{4},\qquad (y^{4})^{2}=y^{8},
então
V=\pi\int_{0}^{1}\big(y^{4}-y^{8}\big)\,dy.

Passo 7

Calcular a antiderivada termo a termo. Para potências usamos a regra básica da integração:
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C,
onde n\neq -1. Aplicando aos termos:
\int y^{4}\,dy=\frac{y^{5}}{5},\qquad \int y^{8}\,dy=\frac{y^{9}}{9}.

Passo 8

Avaliar a integral definida de 0 a 1:
V=\pi\left[\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{9}}{9}\right]_{0}^{1} =\pi\left(\frac{1^{5}}{5}-\frac{1^{9}}{9}-0\right) =\pi\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right).

Passo 9

Fazer a subtração com denominador comum 45:
\frac{1}{5}-\frac{1}{9}=\frac{9-5}{45}=\frac{4}{45}.
Portanto
V=\pi\cdot\frac{4}{45}=\frac{4\pi}{45}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{45}

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