Em cada caso a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
b) Região acima do eixo
limitada por
e
em torno do eixo
.
b) Região acima do eixo
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região descrita em torno do eixo
.
Informações dadas:
- A região é "acima do eixo
" e é limitada pelas curvas e . - O eixo de rotação é o eixo
. - Preciso encontrar o volume do sólido formado por essa rotação.
Passo 2
Entender a região no plano
. Primeiro identifiquemos onde as duas curvas se encontram (interseções), pois isso dará os limites em
. Igualamos as expressões de
:
Resolvendo:
Logo as soluções são
e
. Como a região é "acima do eixo
", consideramos apenas
. Portanto o intervalo em
que interessa é
Passo 3
Identificar qual curva é a fronteira externa (mais à direita) e qual é a interna (mais à esquerda) no intervalo
. Para
vale
(porque elevar a um expoente maior diminui o valor quando
). Portanto, para cada
em
:
- fronteira externa (maior
): , - fronteira interna (menor
): .
Passo 4
Escolha do método e fórmula usada (explicação didática): ao girar uma região em torno do eixo
, uma fatia horizontal em altura
(isto é, um pequeno intervalo
) gera um “anel” (técnico: disco com furo), também chamado de “washer” ou método dos discos/aros. A área do anel gerado por uma fatia em
é
onde:
-
é o raio externo do anel (distância do eixo até a curva mais à direita), -
é o raio interno do anel (distância do eixo até a curva mais à esquerda).
O volume total é a integral dessa área ao longo de
entre os limites de interseção:
Aqui cada raio é simplesmente a coordenada
da curva, pois o eixo de rotação é
(e a distância de
até um ponto de abscissa
é
). Isto é, se a fronteira direita é
então
.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: para
temos
Logo a expressão para o volume é
Passo 6
Simplificar o integrando:
então
Passo 7
Calcular a antiderivada termo a termo. Para potências usamos a regra básica da integração:
onde
. Aplicando aos termos:
Passo 8
Avaliar a integral definida de
a
:
Passo 9
Fazer a subtração com denominador comum
:
Portanto