Monte uma integral cujo valor seja igual ao volume do sólido obtido girando a região \mathcal{R} finita, delimitada pela curva y=1-(x-2)^{2} e o eixo x em torno da reta y=2. (OBS.: Não é necessário resolver a integral!)

Passo 1

O enunciado pede que eu monte uma integral cujo valor seja igual ao volume do sólido obtido ao girar a região \mathcal{R} em torno da reta y=2. As informações dadas são:
\text{a curva: } y = 1 - (x-2)^{2},
\text{o eixo } x: y=0,
\text{eixo de rotação: } y=2.çã
A região \mathcal{R} é a parte finita limitada pela curva e pelo eixo x. Não é pedido calcular a integral, apenas montá-la.

Passo 2

Primeiro preciso determinar o intervalo em x onde a região existe (interseções entre a parábola e o eixo x). Resolvo
1 - (x-2)^{2} = 0.
Isso dá
(x-2)^{2} = 1,
x-2 = \pm 1,
x = 1 \quad \text{ou} \quad x = 3.
Portanto a região \mathcal{R} fica para x variando entre 1 e 3.

Passo 3

Vou usar o método dos discos (washers) com fatias verticais de espessura dx. Racionalização: o eixo de rotação y=2 é horizontal e, para cada x fixo em [1,3], a seção vertical da região vai de y=1-(x-2)^{2} até y=0; ao girar essa faixa em torno de uma reta horizontal, a fórmula dos washers é a mais direta. (Alternativa: método dos cascos em y, mas seria desnecessariamente mais trabalhoso.)

Passo 4

Relembrando a fórmula dos washers: para uma fatia vertical em x de espessura dx, o volume elementar é
dV = \pi\big(R(x)^{2} - r(x)^{2}\big)\,dx,
onde R(x) é o raio externo (distância do eixo de rotação até o ponto mais distante da fatia) e r(x) é o raio interno (distância do eixo até o ponto mais próximo da fatia). A integral do volume é então
V = \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} \pi\big(R(x)^{2} - r(x)^{2}\big)\,dx.

Passo 5

Determino R(x) e r(x) para a nossa situação. Para um x em [1,3]:
  • a borda superior da região é y_{\text{top}}(x)=1-(x-2)^{2};
  • a borda inferior é y_{\text{bot}}(x)=0;
  • o eixo de rotação é y=2.
Como o eixo y=2 está acima de ambas as curvas, a borda mais distante do eixo é y_{\text{bot}}=0 e a mais próxima é y_{\text{top}}(x). Assim
R(x)=\text{distância de }y=2\text{ até }y=0 = 2-0 = 2,âé
r(x)=\text{distância de }y=2\text{ até }y=1-(x-2)^{2} = 2 - \big(1-(x-2)^{2}\big) = 1 + (x-2)^{2}.âé

Passo 6

Substituindo na fórmula dos washers, com limites x=1 a x=3, obtemos
V = \int_{1}^{3} \pi\Big( \big(2\big)^{2} - \big(1 + (x-2)^{2}\big)^{2} \Big)\,dx.
Se quiser uma forma ligeiramente simplificada do integrando, posso expandir \big(1+(x-2)^{2}\big)^{2}:
\big(1 + (x-2)^{2}\big)^{2} = 1 + 2(x-2)^{2} + (x-2)^{4},
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V = \int_{1}^{3} \pi\Big(4 - \big[1 + 2(x-2)^{2} + (x-2)^{4}\big]\Big)\,dx = \int_{1}^{3} \pi\Big(3 - 2(x-2)^{2} - (x-2)^{4}\Big)\,dx.
Qualquer uma das formas acima representa corretamente a integral do volume; não é necessário calcular o valor numérico.

Resposta

V=\int_{1}^{3}\pi\Big(2^{2}-\big(1+(x-2)^{2}\big)^{2}\Big)\,dx

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