Monte uma integral cujo valor seja igual ao volume do sólido obtido girando a região
finita, delimitada pela curva
e o eixo
em torno da reta
. (OBS.: Não é necessário resolver a integral!)
Passo 1
O enunciado pede que eu monte uma integral cujo valor seja igual ao volume do sólido obtido ao girar a região
em torno da reta
. As informações dadas são:
A região
é a parte finita limitada pela curva e pelo eixo
. Não é pedido calcular a integral, apenas montá-la.
Passo 2
Primeiro preciso determinar o intervalo em
onde a região existe (interseções entre a parábola e o eixo
). Resolvo
Isso dá
Portanto a região
fica para
variando entre
e
.
Passo 3
Vou usar o método dos discos (washers) com fatias verticais de espessura
. Racionalização: o eixo de rotação
é horizontal e, para cada
fixo em
, a seção vertical da região vai de
até
; ao girar essa faixa em torno de uma reta horizontal, a fórmula dos washers é a mais direta. (Alternativa: método dos cascos em
, mas seria desnecessariamente mais trabalhoso.)
Passo 4
Relembrando a fórmula dos washers: para uma fatia vertical em
de espessura
, o volume elementar é
onde
é o raio externo (distância do eixo de rotação até o ponto mais distante da fatia) e
é o raio interno (distância do eixo até o ponto mais próximo da fatia). A integral do volume é então
Passo 5
Determino
e
para a nossa situação. Para um
em
:
- a borda superior da região é
; - a borda inferior é
; - o eixo de rotação é
.
Como o eixo
está acima de ambas as curvas, a borda mais distante do eixo é
e a mais próxima é
. Assim
Passo 6
Substituindo na fórmula dos washers, com limites
a
, obtemos
Se quiser uma forma ligeiramente simplificada do integrando, posso expandir
:
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Qualquer uma das formas acima representa corretamente a integral do volume; não é necessário calcular o valor numérico.