Determine a primitiva mais geral:
\int\left(\frac{t \sqrt{t}+\sqrt{t}}{t^{2}}-3 e^{-2 t}\right) d t

Passo 1

O problema pede para determinar a primitiva mais geral (uma antiderivada) da função dada. Ou seja, encontrar uma função F(t) tal que F'(t) seja o integrando. O enunciado fornece a integral
\int\left(\frac{t \sqrt{t}+\sqrt{t}}{t^{2}}-3 e^{-2 t}\right) dt.
Informações relevantes dadas:
\;t é a variável de integração.
O integrando é \displaystyle\frac{t \sqrt{t}+\sqrt{t}}{t^{2}}-3 e^{-2 t}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a parte racional que envolve raízes para integrarmos com maior facilidade.
Lembre que \sqrt{t}=t^{1/2}. Então
t\sqrt{t}=t\cdot t^{1/2}=t^{3/2}.
Portanto o numerador t\sqrt{t}+\sqrt{t} é
t^{3/2}+t^{1/2}.
Dividindo por t^2 obtemos
\frac{t^{3/2}+t^{1/2}}{t^{2}}=t^{3/2-2}+t^{1/2-2}=t^{-1/2}+t^{-3/2}.
Logo o integrando fica
t^{-1/2}+t^{-3/2}-3e^{-2t}.

Passo 3

Vamos lembrar a regra básica de integração que usaremos para as potências e para a exponencial.
Regra das potências:
\text{Se }a\neq -1,\quad \int t^{a}\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C,
onde a é um número real e C é a constante de integração. Aqui t é a variável de integração e a é o expoente.
Regra da exponencial:
\int e^{k t}\,dt=\frac{e^{k t}}{k}+C,
onde k é constante (no nosso caso k=-2).
Usaremos essas regras termo a termo, pois a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 4

Integramos o primeiro termo \;t^{-1/2}.
Aqui a=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra das potências:
\int t^{-1/2}\,dt=\frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C=\frac{t^{1/2}}{1/2}+C=2t^{1/2}+C.
Em termos de raiz, isso é 2\sqrt{t}.

Passo 5

Agora o segundo termo \;t^{-3/2}.
Aqui a=-\tfrac{3}{2}. Aplicando a regra das potências:
\int t^{-3/2}\,dt=\frac{t^{-3/2+1}}{-3/2+1}+C=\frac{t^{-1/2}}{-1/2}+C=-2t^{-1/2}+C.
Em termos de raiz, isso é -\dfrac{2}{\sqrt{t}}.

Passo 6

Por fim, o termo exponencial -3e^{-2t}.
Tire a constante -3 para fora da integral e use a regra da exponencial com k=-2:
\int -3e^{-2t}\,dt=-3\int e^{-2t}\,dt=-3\cdot\frac{e^{-2t}}{-2}+C=\frac{3}{2}e^{-2t}+C.

Passo 7

Somando as primitivas dos termos (e juntando as constantes em uma única constante C), a primitiva geral F(t) é
F(t)=2t^{1/2}-2t^{-1/2}+\frac{3}{2}e^{-2t}+C.
Escrevendo em forma com raiz onde for mais intuitivo:
F(t)=2\sqrt{t}-\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{3}{2}e^{-2t}+C.

Resposta

2\sqrt{t}-\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{3}{2}e^{-2t}+C

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