Determine a primitiva mais geral:
Passo 1
O problema pede para determinar a primitiva mais geral (uma antiderivada) da função dada. Ou seja, encontrar uma função
tal que
seja o integrando. O enunciado fornece a integral
Informações relevantes dadas:
é a variável de integração.
O integrando é .
O integrando é
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a parte racional que envolve raízes para integrarmos com maior facilidade.
Lembre que
. Então
Portanto o numerador
é
Dividindo por
obtemos
Logo o integrando fica
Passo 3
Vamos lembrar a regra básica de integração que usaremos para as potências e para a exponencial.
Regra das potências:
onde
é um número real e
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
é o expoente.
Regra da exponencial:
onde
é constante (no nosso caso
).
Usaremos essas regras termo a termo, pois a integral de uma soma é a soma das integrais.
Passo 4
Integramos o primeiro termo
.
Aqui
. Aplicando a regra das potências:
Em termos de raiz, isso é
.
Passo 5
Agora o segundo termo
.
Aqui
. Aplicando a regra das potências:
Em termos de raiz, isso é
.
Passo 6
Por fim, o termo exponencial
.
Tire a constante
para fora da integral e use a regra da exponencial com
:
Passo 7
Somando as primitivas dos termos (e juntando as constantes em uma única constante
), a primitiva geral
é
Escrevendo em forma com raiz onde for mais intuitivo: