Determine a primitiva mais geral:
\int \frac{d y}{\operatorname{arctg}\left(1+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral de
\int \frac{dy}{\operatorname{arctg}\left(1+y^{2}\right)}
Ou seja, encontrar uma função F(y) tal que
F'(y)=\frac{1}{\arctan(1+y^{2})}
Observações dadas pelo enunciado que vamos usar: a função dentro do denominador é \arctan(1+y^{2}) (escrevo \arctan em vez de \operatorname{arctg}, mesmo significado). Não há valores numéricos adicionais, nem intervalos impostos. A tarefa é dar a primitiva mais geral (ou seja, primitiva indefinida com constante de integração).

Passo 2

Vamos tentar transformações naturais e ver o que funciona. Primeiro, calcule a derivada de \varphi(y)=\arctan(1+y^{2}), porque isso aparece frequentemente quando se tenta inverter ou substituir:
\varphi'(y)=\frac{d}{dy}\arctan(1+y^{2})=\frac{1}{1+(1+y^{2})^{2}}\cdot \frac{d}{dy}(1+y^{2})
Aqui usei a regra da cadeia: a derivada de \arctan(u) é \dfrac{u'}{1+u^{2}}. Como u=1+y^{2} tem derivada u'=2y, obtemos
\varphi'(y)=\frac{2y}{1+(1+y^{2})^{2}}.
Vou explicar: isso significa que a variação de \arctan(1+y^2) envolve um fator y no numerador. Isto já dá uma indicação: se a integral original tivesse um fator y multiplicando dy, a substituição t=\arctan(1+y^2) seria promissora; sem esse y, a substituição gera uma mistura de t e y que não simplifica facilmente.

Passo 3

Tentar a substituição direta t=\arctan(1+y^{2}). Fazendo isso obtemos, conforme o cálculo acima,
dt=\frac{2y}{1+(1+y^{2})^{2}}\,dy.
Isolando dy,
dy=\frac{1+(1+y^{2})^{2}}{2y}\,dt.
Substituindo na integral original:
\int \frac{dy}{\arctan(1+y^{2})}=\int \frac{1}{t}\cdot\frac{1+(1+y^{2})^{2}}{2y}\,dt.
Repare que a variável y permanece dentro do integrando após a mudança (aparece em \frac{1+(1+y^{2})^{2}}{2y}), então não conseguimos transformar a integral em uma integral só em t. Para que a substituição funcionasse bem, precisaríamos que dy fosse um múltiplo de dt sem fatores adicionais em y. Portanto essa substituição direta não dá uma primitiva elementar.

Passo 4

Outra tentativa clássica é usar y=\tan\theta, porque 1+y^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta. Faça isso para ver se simplifica:
y=\tan\theta,\qquad dy=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,\qquad 1+y^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta.
A integral vira
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\arctan(\operatorname{sec}^{2}\theta)}.
Denotando \psi(\theta)=\arctan(\operatorname{sec}^{2}\theta), temos \psi'(\theta)=\dfrac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\tan\theta}{1+\operatorname{sec}^{4}\theta}, que novamente traz fator \tan\theta e não permite eliminar variáveis. Portanto a forma não fica mais simples; acabamos com \operatorname{sec}^{2}\theta/\arctan(\operatorname{sec}^{2}\theta), e uma nova substituição \tau=\arctan(\operatorname{sec}^{2}\theta) volta a trazer \tan\theta. Em resumo: essa rota também não produz uma primitiva em termos de funções elementares usuais.

Passo 5

Tentativa de integração por partes (uma estratégia-padrão quando vimos fracções com funções compostas). Tomemos
u=\frac{1}{\arctan(1+y^{2})},\qquad dv=dy.
Então du=-\dfrac{\varphi'(y)}{\varphi(y)^{2}}\,dy com \varphi(y)=\arctan(1+y^{2}), ou seja
du=-\frac{2y}{\big(1+(1+y^{2})^{2}\big)\,\arctan(1+y^{2})^{2}}\,dy, \qquad v=y.
A fórmula de partes dá
\int \frac{dy}{\arctan(1+y^{2})}= \frac{y}{\arctan(1+y^{2})} + 2\int \frac{y^{2}}{\big(1+(1+y^{2})^{2}\big)\,\arctan(1+y^{2})^{2}}\,dy.
Ou seja, transformamos a integral original numa outra integral mais complicada (tem \arctan ao quadrado no denominador e um fator racional com y). Não houve simplificação para uma forma elementar conhecida. Isso reforça a percepção de que não esperamos uma primitiva em termos de polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, arctan simples, etc.

Passo 6

Conclusão sobre elementaridade: depois das tentativas naturais (substituição direta t=\arctan(1+y^{2}), y=\tan\theta, e partes) a forma da integral não se reduz a uma expressão que dependa só de uma nova variável de forma eliminando y. Técnicas padrão não produzem uma primitiva elementar, e é razoável afirmar (como mostram análises algébricas mais avançadas como o algoritmo de Risch) que a primitiva não pode ser expressa por uma combinação finita das funções elementares usuais. Em linguagem prática de cálculo: a antiderivada é não-elementar.
Quando a primitiva não é elementar, a forma aceitável e útil de apresentar a primitiva geral é defini-la por uma função integral (uma primitiva definida por integral própria) ou usar funções especiais. A forma mais direta e honesta é definir a primitiva por uma integral de definição.

Passo 7

Portanto a primitiva mais geral pode ser dada implicitamente pela função integral acumulada; uma escolha natural é fixar um ponto de referência y_{0} (por exemplo y_{0}=0) e definir
F(y)=\int_{y_{0}}^{y}\frac{dt}{\arctan(1+t^{2})}+C.
Isto define uma família de primitivias (uma para cada C). Essa expressão é totalmente correta: ela satisfaz F'(y)=\dfrac{1}{\arctan(1+y^{2})} por teorema fundamental do cálculo. Em provas, quando se quer deixar explícito que não há forma elementar conhecida, escrever a primitiva dessa forma é aceitável e claro.

Resposta

F(y)=\int_{0}^{y}\frac{dt}{\arctan(1+t^{2})}+C

Exercícios relacionados