Determine a primitiva mais geral:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral de
Ou seja, encontrar uma função
tal que
Observações dadas pelo enunciado que vamos usar: a função dentro do denominador é
(escrevo
em vez de
, mesmo significado). Não há valores numéricos adicionais, nem intervalos impostos. A tarefa é dar a primitiva mais geral (ou seja, primitiva indefinida com constante de integração).
Passo 2
Vamos tentar transformações naturais e ver o que funciona. Primeiro, calcule a derivada de
, porque isso aparece frequentemente quando se tenta inverter ou substituir:
Aqui usei a regra da cadeia: a derivada de
é
. Como
tem derivada
, obtemos
Vou explicar: isso significa que a variação de
envolve um fator
no numerador. Isto já dá uma indicação: se a integral original tivesse um fator
multiplicando
, a substituição
seria promissora; sem esse
, a substituição gera uma mistura de
e
que não simplifica facilmente.
Passo 3
Tentar a substituição direta
. Fazendo isso obtemos, conforme o cálculo acima,
Isolando
,
Substituindo na integral original:
Repare que a variável
permanece dentro do integrando após a mudança (aparece em
), então não conseguimos transformar a integral em uma integral só em
. Para que a substituição funcionasse bem, precisaríamos que
fosse um múltiplo de
sem fatores adicionais em
. Portanto essa substituição direta não dá uma primitiva elementar.
Passo 4
Outra tentativa clássica é usar
, porque
. Faça isso para ver se simplifica:
A integral vira
Denotando
, temos
, que novamente traz fator
e não permite eliminar variáveis. Portanto a forma não fica mais simples; acabamos com
, e uma nova substituição
volta a trazer
. Em resumo: essa rota também não produz uma primitiva em termos de funções elementares usuais.
Passo 5
Tentativa de integração por partes (uma estratégia-padrão quando vimos fracções com funções compostas). Tomemos
Então
com
, ou seja
A fórmula de partes dá
Ou seja, transformamos a integral original numa outra integral mais complicada (tem
ao quadrado no denominador e um fator racional com
). Não houve simplificação para uma forma elementar conhecida. Isso reforça a percepção de que não esperamos uma primitiva em termos de polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, arctan simples, etc.
Passo 6
Conclusão sobre elementaridade: depois das tentativas naturais (substituição direta
,
, e partes) a forma da integral não se reduz a uma expressão que dependa só de uma nova variável de forma eliminando
. Técnicas padrão não produzem uma primitiva elementar, e é razoável afirmar (como mostram análises algébricas mais avançadas como o algoritmo de Risch) que a primitiva não pode ser expressa por uma combinação finita das funções elementares usuais. Em linguagem prática de cálculo: a antiderivada é não-elementar.
Quando a primitiva não é elementar, a forma aceitável e útil de apresentar a primitiva geral é defini-la por uma função integral (uma primitiva definida por integral própria) ou usar funções especiais. A forma mais direta e honesta é definir a primitiva por uma integral de definição.
Passo 7
Portanto a primitiva mais geral pode ser dada implicitamente pela função integral acumulada; uma escolha natural é fixar um ponto de referência
(por exemplo
) e definir
Isto define uma família de primitivias (uma para cada
). Essa expressão é totalmente correta: ela satisfaz
por teorema fundamental do cálculo. Em provas, quando se quer deixar explícito que não há forma elementar conhecida, escrever a primitiva dessa forma é aceitável e claro.