Em cada caso a seguir, dê exemplo de sequências
e
que possuam as propriedades:
(
) é convergente,
é divergente e (
) é convergente;
(
Passo 1
O enunciado pede para dar dois exemplos de sequências
e
tais que
seja convergente,
seja divergente e o produto
seja convergente. O conteúdo envolvido é limites de sequências e as definições de convergência e divergência.
Passo 2
A ideia básica é escolher
que tende a zero e
que cresce sem limite, mas de modo que o produto seja uma sequência constante (logo convergente). Um exemplo clássico é
Definimos
Definimos
Nesse caso, pelo teorema do limite de seqüências de termos gerais, temos
portanto
é convergente.
Passo 3
Definimos
E fica claro que essa sequência diverge para infinito, ou seja,
logo
é divergente.
Passo 4
Agora calculamos o produto
Como essa é a sequência constante igual a 1, temos
portanto
é convergente.
Resposta
Um exemplo simples é $a_n = \frac1n$ e $b_n = n$, pois $a_n$ converge a 0, $b_n$ diverge para “+\infty” e $a_n b_n = 1$ é convergente.