Em cada caso a seguir, dê exemplo de sequências an e an bn que possuam as propriedades:
( ) é convergente, é divergente e ( ) é convergente;

Passo 1

O enunciado pede para dar dois exemplos de sequências (an) e (bn) tais que (an) seja convergente, (bn) seja divergente e o produto (an bn) seja convergente. O conteúdo envolvido é limites de sequências e as definições de convergência e divergência.

Passo 2

A ideia básica é escolher (an) que tende a zero e (bn) que cresce sem limite, mas de modo que o produto seja uma sequência constante (logo convergente). Um exemplo clássico é
Definimos
an = 1n
Nesse caso, pelo teorema do limite de seqüências de termos gerais, temos
limntoinftyan = limntoinfty1n = 0
portanto (an) é convergente.

Passo 3

Definimos
bn = n
E fica claro que essa sequência diverge para infinito, ou seja,
limntoinftybn = +infty
logo (bn) é divergente.

Passo 4

Agora calculamos o produto
an bn = 1n cdot n = 1
Como essa é a sequência constante igual a 1, temos
limntoinfty(an bn) = 1
portanto (an bn) é convergente.

Resposta

Um exemplo simples é $a_n = \frac1n$ e $b_n = n$, pois $a_n$ converge a 0, $b_n$ diverge para “+\infty” e $a_n b_n = 1$ é convergente.

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