Em cada caso a seguir, dê exemplo de sequências an e an bn que possuam as propriedades:
( ) é divergente, é divergente e ( ) é convergente;

Passo 1

O enunciado pede exemplos de duas sequências an e bn tais que cada uma delas seja divergente (isto é, não tenha limite) mas o produto an bn seja convergente. O conteúdo envolvido é limite de sequências, com definições de convergência e divergência.

Passo 2

Vamos escolher sequências que oscilem, de modo que não tenham limite, mas cujo produto elimine a oscilação. Definimos
an = (-1)^n + 1n, bn = (-1)^n

Passo 3

Mostramos que an e bn são divergentes simultaneamente:
  • bn = (-1)^n oscila entre 1 e -1, logo não converge.
  • an = (-1)^n + tfrac1n também oscila entre valores próximos a 1 e -1 (com um pequeno desvio +1/n), então não tem limite.

Passo 4

Agora verificamos o produto e sua convergência. Multiplicando temos
an bn = l((-1)^n + tfrac1nr)(-1)^n = (-1)^2n + (-1)^nn = 1 + (-1)^nn
Como
limntoinfty(-1)^nn = 0,
segue que
limntoinftyan bn = 1

Resposta

Por exemplo, definindo an = (-1)^n + tfrac1n e bn = (-1)^n, ambas as sequências divergem, mas o produto an bn converge a 1.

Exercícios relacionados