Em cada caso a seguir, dê exemplo de sequências
e
que possuam as propriedades:
(
) é divergente,
é divergente e (
) é convergente;
(
Passo 1
O enunciado pede exemplos de duas sequências
e
tais que cada uma delas seja divergente (isto é, não tenha limite) mas o produto
seja convergente. O conteúdo envolvido é limite de sequências, com definições de convergência e divergência.
Passo 2
Vamos escolher sequências que oscilem, de modo que não tenham limite, mas cujo produto elimine a oscilação. Definimos
Passo 3
Mostramos que
e
são divergentes simultaneamente:
-
oscila entre e , logo não converge. -
também oscila entre valores próximos a e (com um pequeno desvio ), então não tem limite.
Passo 4
Agora verificamos o produto e sua convergência. Multiplicando temos
Como
segue que
Resposta
Por exemplo, definindo
e
, ambas as sequências divergem, mas o produto
converge a 1.