Calcule as integrais abaixo:
integral-2^0 integral0^pi(2 x^2 cos (2 y+pi)) d y d x;

Passo 1

Temos a integral dupla a calcular e vamos usar o Teorema de Fubini para separar as integrais, além de lembrar que em uma integral interna em relação a y, podemos tratar x como constante. O enunciado é calcular
integral-2^0integral0^pi2x^2cos(2y+pi),dy,dx

Passo 2

Na integral interna em y, fatoramos o termo que é constante em y, que é 2x^{2}. Assim,
integral0^pi2x^2cos(2y+pi),dy =2x^2integral0^picos(2y+pi),dy

Passo 3

Precisamos agora da primitiva de cos(2y+pi). Usando a regra de integração de cosseno com coeficiente linear, temos
integralcos(2y+pi),dy =12sin(2y+pi)

Passo 4

Avaliação da integral interna nos limites y=0 e y=\pi. Isso dá
integral0^picos(2y+pi),dy =12[sin(2pi+pi)-sin(pi)] =12(0-0) =0
Portanto a integral interna é zero, logo
integral0^pi2x^2cos(2y+pi),dy=2x^2cdot0=0

Passo 5

Como a integral interna é zero para todo x, a integral externa também será zero:
integral-2^00,dx=0

Resposta

0

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