Calcule as integrais abaixo:
integral3^4 integral-1^2(x+y+e^x) d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral3^4 !integral-1^2(x+y+e^x),dy,dx. O conteúdo aqui é integração dupla via integração iterada: primeiro integramos em relação a y, depois em relação a x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
integral-1^2(x+y+e^x),dy =integral-1^2x,dy+integral-1^2y,dy+integral-1^2e^x,dy
Como x e e^x são constantes em relação a y, temos:
integral-1^2x,dy = xl[yr]-1^2=3x,
integral-1^2y,dy = tfracy^22|-1^2=tfrac4-12=tfrac32,
integral-1^2e^x,dy = e^xl[yr]-1^2=3e^x
Somando tudo, a integral interna é 3x + tfrac32 + 3e^x.

Passo 3

Agora montamos a integral em x:
integral3^4l(3x+tfrac32+3e^xr),dx
Calculamos a antiderivada:
F(x)=integrall(3x+tfrac32+3e^xr)dx =tfrac32x^2+tfrac32x+3e^x

Passo 4

Por fim, avaliamos de x=3 até x=4:
F(4)-F(3) =l(tfrac32cdot16+tfrac32cdot4+3e^4r) -l(tfrac32cdot9+tfrac32cdot3+3e^3r) =l(24+6+3e^4r)-l(13.5+4.5+3e^3r) =12+3e^4-3e^3

Passo 5

Simplificando, a resposta final fica 12+3,(e^4-e^3).

Resposta

12+3,(e{4}-e{3})

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