Calcule as integrais abaixo:
integral0^1 integral1^6(y x+1) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1 integral1^6 (y x + 1) , dx , dy
O conteúdo é integração dupla via Teorema de Fubini, transformando em integral iterada: primeiro em x (tratando y como constante) e depois em y.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral interna em relação a x:
integral1^6 (y x + 1) , dx
Aqui usamos que
integral y x , dx = y cdot x^22,
e
integral 1 , dx = x
Então

Passo 3

Agora substituímos os limites de x de 1 a 6 nessa primitiva:
[y x^22 + x]1^6 = l(y 6^22 + 6r) - l(y 1^22 + 1r) = y 36 - 12 + (6 - 1) = 352y + 5

Passo 4

Com isso a integral dupla vira uma integral simples em y:
integral0^1 l(352y + 5r) , dy

Passo 5

Para resolver essa integral em y, integramos termo a termo:
integral 352y , dy = 352 cdot y^22 = 354y^2,
integral 5 , dy = 5y
Avaliando de 0 a 1, temos
[354y^2 + 5y]0^1 = 354 + 5 = 35 + 204 = 554

Resposta

554

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