Em cada caso a seguir, dê exemplo de sequências an e que possuam as propriedades:
( ) é crescente, é decrescente e é crescente;

Passo 1

O exercício pede para darmos exemplos de duas sequências $ (a_n) $ e $ (b_n) $ tais que $ (a_n) $ seja crescente, $ (b_n) $ seja decrescente e a soma $ (a_n + b_n) $ seja crescente. O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências e soma de sequências monotônicas.

Passo 2

Vamos escolher an = n e bn = 1/n. Veja que:
  • an+1 - an = (n+1) - n = 1 > 0, logo (an) é crescente.
  • bn+1 - bn = 1n+1 - 1n = -1n(n+1) < 0, logo (bn) é decrescente.
  • Para a soma sn = an + bn = n + 1n, temos
sn+1 - sn = l((n+1) + tfrac1n+1r) - l(n + tfrac1nr) = 1 + l(tfrac1n+1 - tfrac1nr) = 1 - tfrac1n(n+1) > 0,
então (sn) também é crescente.

Resposta

As sequências
an = n
e
bn = tfrac1n
choque os requisitos: (an) crescente, (bn) decrescente e (an + bn) crescente.

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