Calcule as integrais abaixo:
integral1^2 integral0^4(x^2+y) d y d x;

Passo 1

Primeiro recapitula o enunciado: temos a integral dupla integralx=1^2integraly=0^4 (x^2 + y),dy,dx. O conteúdo é integração iterada em duas variáveis, e vamos precisar usar as regras de antiderivada e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Vamos integrar em y primeiro. A antiderivada de x^2 + y em relação a y é
integral (x^2 + y),dy = x^2 y + y^22
Agora avaliamos de y=0 a y=4:
x^2 cdot 4 + 4^22 - l(x^2cdot 0 + 0^22r) = 4x^2 + 8
Então a integral interna vira 4x^2 + 8.

Passo 3

Agora fazemos a integral em x de 1 a 2 de 4x^2 + 8. Primeiro achamos a antiderivada em relação a x:
integral (4x^2 + 8),dx = 4x^33 + 8x

Passo 4

Por fim, avaliamos essa expressão de x=1 a x=2:
l(4cdot 2^33 + 8cdot 2r) - l(4cdot 1^33 + 8cdot 1r) = l(323 + 16r) - l(43 + 8r) = 803 - 283 = 523
Portanto, essa é a resposta final.

Resposta

tfrac523

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