Escreva os 5 primeiros termos de cada uma das seguintes sequências x1=raiz2, xk+1=raiz2+xk e determine seus limites.

Passo 1

O enunciado define a sequência real xkkinN por x1=raiz2 e xk+1=raiz2+xk. Vamos estudar esta sequência: primeiro calculamos alguns termos para ver o padrão, depois mostramos que ela é monótona crescente e limitada, e finalmente achamos o limite por método de ponto fixo.

Passo 2

Os cinco primeiros termos são dados recursivamente. Em forma exata temos:
x1=raiz2,
x2=raiz2+raiz2,
x3=raiz2+raiz2+raiz2,
x4=raiz2+raiz2+raiz2+raiz2
x5=raiz2+raiz2+raiz2+raiz2+raiz2
Para termos ideia numérica, aproximando:
x1approx1,414, x2approx1,848, x3approx1,961, x4approx1,990, x5approx1,997.

Passo 3

Para mostrar convergência, notamos que a função f(x)=raiz2+x é crescente em x>=0. Como xk+1=f(xk) e x1>0, segue por indução que xk+1>xk para todo k. Ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Ainda por indução, vemos que x1=raiz2<2. Se xk<2, então
xk+1=raiz2+xk
Logo todos os xk são menores que 2, ou seja, a sequência é limitada superiormente por 2. Sequência monotônica crescente e limitada converge.

Passo 5

Seja L=limktoinftyxk. Tomando limite na relação xk+1=raiz2+xk, obtemos
L=raiz2+L
Elevando ao quadrado:
L^2=2+LLongrightarrow L^2-L-2=0Longrightarrow L=2 ou L=-1
Como os xk são positivos, o limite é L=2.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
x1=raiz2,
x2=raiz2+raiz2,
x3=raiz2+raiz2+raiz2,
x4=raiz2+raiz2+raiz2+raiz2,
x5=raiz2+raiz2+raiz2+raiz2+raiz2
e o limite da sequência é 2.

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